лекции / lekciy_po_upravleniyu_v_biologicheskih_i_medicinskih_sistema / lek_6

Лекция №6 Устойчивость нелинейных систем автоматического управления

Общие понятия

Понятие устойчивости движения, устойчивости динамической системы введено в

классической механике и в настоящее время относится к одному из фундаментальных понятий современной науки. Термин «устойчивость» многогранен. Существует множество определений устойчивости. В общем смысле под устойчивостью можно понимать способность системы сопротивляться изменению своего состояния. Понятие «состояния» рассматривается здесь более широко, это может быть состояние равновесия, отдельная траектория движения, режим периодических или квазипериодических колебаний.

В основе современной теории устойчивости лежит знаменитая концепция возмущенного-невозмущенного движения, предложенная A.M. Ляпуновым. Суть этой концепции заключается в следующем.

Рассматривается автономная ДС, описываемая системой ОДУ:

x(t )=F(x) (1)

Эволюция системы полностью определяется множеством решений системы (1), т.е. игнорируется влияние всех случайных факторов. Частное решение такой идеализированной системы при заданных начальных условиях представляет отдельную фазовую траекторию в ее пространстве состояний, которую принято называть траекторией невозмущенного движения или просто невозмущенным движением. Любая другая траектория, получаемая в результате действия различных факторов, например, изменения начального состояния, действия возмущений и т.д. характеризует возмущенное движение системы x(t).

Показателем устойчивости невозмущенного движения является изменение величины отклонения возмущенного движения от невозмущенного движения

y (t )= x (t )− x0 (t ) (2)

Невозмущенное движение x0 (t ) называется устойчивым по Ляпунову, если для

любого сколь угодно малого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что из неравенства

x (t0 )− x0 (t0 ) <δ следует при любых t > t0 неравенство x (t )− x0 (t ) <ε . Здесь *

означает норму вектора, a t0 — фиксированный начальный момент времени. Интерпретировать эту строгую математическую формулировку можно следующим образом: при устойчивом по Ляпунову движении любое малое начальное возмущение δ не может неограниченно нарастать при эволюции системы. Устойчивость по Ляпунову для случая ДС третьего порядка иллюстрирует рис. 1.17. Траектория возмущенного движения x(t) всегда находится внутри некоторой трубки радиуса ε в окрестности траектории невозмущенного движения x°(t). Понятно, что если начальное, сколь угодно малое возмущение растет с течением времени, то такое движение будет неустойчивым.

Рис. 1.17. Иллюстрация понятия устойчивости по Ляпунову Рис. 1.18. Иллюстрация понятия асимптотической устойчивости

Если малое начальное возмущенно δ не только не нарастает, но и стремится к нулю при t→∞, то такое движение обладает свойством асимптотической устойчивости. Очевидно, что это требование является более строгим по сравнению с требованием устойчивости по Ляпунову, а любое асимптотически устойчивое движение всегда будет устойчивым по Ляпунову. Иллюстрация понятия асимптотической устойчивости представлена на рси. 1.18.

Согласно приведенным выше формулировкам устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость характеризуют устойчивость в малой окрестности эталонной траектории, т.е. локальную устойчивость (устойчивость «в малом»). Помимо понятия локальной устойчивости часто используют понятия устойчивости в целом, когда, движение будет устойчивым при любом сколь угодно большом начальном отклонении. В реальных системах при существующих ограничениях на возможный диапазон изменения переменных состояний используется понятие устойчивости в области. Эти два понятия характеризуют глобальную устойчивость системы устойчивость «в большом»).

Критерии устойчивости динамических систем

В настоящее время существует ряд критериев, позволяющих оценить устойчивость ДС, однако подавляющее большинство из них применимо лишь к классу линейных ДС. Наиболее эффективные способы оценки устойчивости нелинейных систем дают первый и второй методы Ляпунова, которые часто называют методом первого приближения и методом функций Ляпунова соответственно.

Для общего класса нелинейных систем единственным известным аппаратом анализа устойчивости «в большом» является аппарат функции Ляпунова, получивший широкое применение, причем не только в задачах исследования устойчивости систем, но и в задачах их построения (проектирования).

Метод функций Ляпунова или прямой метод Ляпунова основывается на поиске некоторых функций переменных состояния ДС V(x) (функций Ляпуновa), обладающих свойствами знакоопределенности. Анализ устойчивости системы сводится к оценке

свойств производной этой функции V (x) в силу дифференциальных уравнений модели

объекта. К сожалению, универсальной методики построения функций Ляпунова пока не существует и, следовательно, задача разработки эффективных критериев устойчивости «в большом» для общего класса нелинейных ДС еще ждет своего решения.

Такое положение дел привело к тому, что выводы об устойчивости или неустойчивости ДС делают на основе исследования локальной устойчивости отдельных

решений. Такой способ «сшивания одеяла из отдельных лоскутов» зачастую оказывается вполне эффективным и дает достаточно достоверную картину поведения системы в целом. Указанный подход, названный линейным анализом устойчивости, широко используется в нелинейной динамике, поэтому есть смысл остановиться на нем подробнее.

Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость характеризуют эволюцию малого возмущения траектории движения во времени y (t ): будет ли оно

убывать, возрастать или оставаться ограниченным. Поскольку данное возмущение считается малым, можно провести линейную аппроксимацию математической модели системы в окрестности невозмущенной траектории x°(t).

Нелинейная модель исходной системы x(t )=F(x)

заменяется линейной моделью, записанной относительно возмущения y (t )= A(t )y (1.18)

Матрица A(t ) — матрица линеаризации системы в окрестности решения x0 (t ) с элементами

где fi —- компоненты вектор-функции F(x), а индексы i и j указывают на номер строки и

столбца матрицы. Заметим, что модель (1.18) является системой линейных ОДУ с коэффициентами, зависящими от времени.

Важной характеристикой матрицы линеаризации являются ее собственные числа p j , которые ищутся как решение характеристического уравнения

det A(t )− pE =0 (1.19)

где Е — единичная диагональная матрица. Уравнение представляет собой полином (характеристический полином)

bn (t )pn +bn−1 (t )pn−1 +... +b1 (t )p +b0 (t )= 0

корнями которого являются собственные числа матрицы линеаризации p j .

При αj (t )<0 величина возмущений в данном направлении уменьшается,

при αj (t )>0 — увеличивается,

а npи αj (t )=0 — остается неизменной.

Сложность оценки устойчивости траектории невозмущенного движения траектории х°(t) заключается в том, что матрица линеаризации содержит элементы, являющиеся функциями времени. Следовательно, соответствующие ей собственные числа тоже могут изменяться во времени. Иначе говоря, в одних точках исследуемой траектории возмущение может возрастать, а в других уменьшаться. Очевидно, необходимы некоторые усредненные оценки. Такими оценками и являются Ляпуновские характеристические показатели (ЛХП):

Индекс i показывает, в каком из взаимно перпендикулярных направлений фазового пространства мы проверяем устойчивость данной траектории. Показатели Ляпунова могут быть упорядочены по убыванию и образовывать спектр ЛХП, которые можно связать с собственными числам матрицы A(t)

Таким образом, каждый ЛХП можно трактовать как усредненное вдоль исследуемой траектории значение действительной части каждого собственного числа матрицы линеаризации. Что же дает нам информация о значениях ЛХП? Во-первых, мы можем оценить устойчивость отдельной траектории. Для того чтобы траектория была устойчивой по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы спектр ЛХП не содержал

положительных чисел λi ≤ 0 . Требование асимптотической устойчивости выполняется при λi < 0 . Во вторых для диссипативных систем можно определить вид и тип аттрактора.

С помощью ЛПХ можно выяснить, какие трансформации происходят с элементом фазового объема.

Например, для случая 3-х мерного потока можно выделить следующие характерные случаи:

•если все показатели отрицательны, то траектории сближаются по всем трем взаимно перпендикулярным направлениям и пространство состояний в данной области содержит аттрактор типа -«точка»;

•если два ЛПХ меньше нуля, а один нулевой, то сближение идет в двух направлениях к некоторой кривой, аттрактор — предельный цикл;

•если один ЛПХ меньше нуля, а два других нулевые, аттрактор — двухмерный тор;

•если среди ЛХП нет отрицательных и хотя бы один положителен, то это указывает на существование репеллера: точки при всех положительных ЛПХ; предельного цикла при двух положительном и одном нулевом ЛХП; тора при одном положительном и двух нулевых ЛХП;

•если присутствует сочетание знаков ЛХП: +, 0, -, то это свидетельство существования странного аттрактора.

При всех нулевых ЛХП ни в одном из направлений пространства состояний не

будет наблюдаться ни схождения, ни расхождения траекторий. Очевидно :в этом случае мы имеем дело с консервативной системой.