лекции / lekciy_po_upravleniyu_v_biologicheskih_i_medicinskih_sistema / lek_4

с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. При этом, если αi < 0, эта составляющая будет затухать. Наоборот,

при αi > 0 получатся расходящиеся колебания. Если αi = 0, что соответствует паре мнимых корней, будут незатухающие синусоидальные колебания.

Таким образом, условием затухания данной составляющей переходного процесса является отрицательность действительной части αi соответствующей пары сопряженных корней характеристического уравнения.

В частном случае, когда βi = 0, имеем действительный корень λi = αi . Соответствующая ему составляющая переходного процесса Cieαi t

представляет собой экспоненту, которая будет затухать или увеличиваться тоже в зависимости от знака αi.

Итак, в общем случае переходный процесс в системе состоит из колебательных и апериодических составляющих. Каждая колебательная составляющая обязана своим появлением паре комплексных сопряженных корней, а каждая апериодическая — действительному корню.(Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы, т. е. всех полюсов (нулей знаменателя) передаточной функции системы.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся, составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой. Наличие пары сопряженных чисто мнимых корней λi,i+1=jβi

Рис

даст незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса. При этом в системе установятся незатухающие колебания с частотой, равной βi. Этот случай является граничным между устойчивостью и неустойчивостью — система при этом находится на границе устойчивости. Такая система, очевидно, также неработоспособна, как и неустойчивая.

Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 4-2), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так:

условием устойчивости системы является расположение всех корней

характеристического уравнения, т. е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все они должны быть левыми.

Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.

Существуют три основных критерия устойчивости: критерий Рауса

— Гурвица, критерий Михайлова и критерий Найквиста.

§ 4-2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА — ГУРВИЦА

Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е.Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце прошлого века. Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.

Возьмем многочлен

где полагаем αi > 0, что всегда можно обеспечить умножением многочлена на —1. Составим из коэффициентов этого многочлена определитель

Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет п строк и п столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положенного числа п элементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из. первой, а четвертая — из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.

В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме α0.

Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

Можно показать в общем случае системы n-го порядка, что в условия устойчивости в качестве их части входит требование положительности всех коэффициентов уравнения. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого, необходимого, но недостаточного условия устойчивости. При его невыполнении, естественно, отпадает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.

Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса — Гурвица, как видно из изложенного, усложняются с ростом порядка системы. При этом для систем достаточно высокого порядка оказывается затруднительным выяснять влияние на устойчивость системы значений отдельных параметров звеньев, входящих в состав коэффициентов уравнения. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в несколько коэффициентов уравнения системы. Поэтому критерий Рауса — Гурвица применяют только для систем невысокого порядка и прежде всего для анализа устойчивости, когда надо определить, устойчива ли система при известных значениях всех её параметров. При решении задачи синтеза системы, когда требуется выбрать значения отдельных параметров системы, критерий Раусе — Гурвица становится неудобным уже для систем выше четвёртого порядка.

§ 4-3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Это графический критерий. Он предложен в 1938 г. советским ученым А. В. Михайловым и тоже основан на рассмотрении многочлена D (λ).

Подставим в этот многочлен вместо λ мнимую переменную jω. В результате получим комплексную функцию

D( jω) =UD (ω) + jVD (ω).

Здесь UD (ω) — действительная часть, полученная из членов D (λ), содержащих четные степени λ, a VD (ω) — мнимая часть, полученная из членов D (λ) с нечетными степенями λ.

Изобразим D (jω) в виде годографа в комплексной плоскости (кривая 1 на. рис. 4-3, а). Этот годограф называется годографом

Рис

Михайлова. Каждому значению ω соответствуют определенные значения UD (ω) и VD (ω) и определенная точка на плоскости. При ω = 0 функция D (jω) = ап, т. е. годограф начинается на действительной оси. При ω →∞ функция D (jω) тоже неограниченно возрастает.

Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф D (jω), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно п квадрантов, где п — порядок системы.

На рис. 4-3, а годограф 1 относится к устойчивой, а годографы 3, 4 и 5

— к неустойчивым системам.

Условием нахождения системы на границе устойчивости является прохождение годографа Михайлова через начало координат (кривая 2 на рис. 4-3, а). Действительно, в этом случае существует значение j, при котором D (jω) = 0, т. е. характеристическое уравнение системы имеет пару сопряженных мнимых корней λ = ±jω. Последнее и означает наличие в

При построении годографа D (jω) прежде всего, находят точки его пересечения с координатными осями. Для этого, определив из уравнения

UD (ω) =0

значения частот, соответствующих точкам пересечения годографа D (jω) с мнимой осью, подставляют их в выражение VD (ω). В результате получают соответствующие ординаты. Аналогично находят точки пересечения D (jω) с действительной осью, приравнивая нулю мнимую часть

VD (ω).

Чтобы не иметь дело с высокими степенями ω, построение годографа D (jω) можно производить по звеньям системы. Представим D (jω) таким образом:

где Ri(jω) и Qi(jω) — числитель и знаменатель амплитудно-фазовой частотной функции i-го звена приведенной одноконтурной системы.

Согласно выражению (4-9), построение годографа D(jω) начинают с построения годографов Ri(jω) и Qi(jω) отдельных звеньев. Затем строят годографы R(jω)и Q(jω) путем перемножения соответственно годографов Ri(jω) и Qi(jω). Годографы перемножают по обычным правилам перемножения векторов, как и при построении частотных характеристик цепочки звеньев по характеристикам отдельных звеньев (см. § 1-5). Для каждого значения ω модули (величины векторов, проведенных из начала координат в соответствующую точку годографов) перемножают, а аргументы (фазы этих векторов) складывают.

§ 4-4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (а. ф. ч. х.) W(jω)

разомкнутой системы (рис. 4-4, а). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить экспериментально, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить.

Сформулируем сперва этот критерий для случая, когда известно, что система в разомкнутом, состоянии устойчива. Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы а. ф. ч. х. разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0).

На рис. 4-4, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 — неустойчивой, а характеристика 2— нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее а. ф. ч. х. сожмется к началу координат, в результате чего система станет устойчивой.

Рис

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии а. ф. ч. х. разомкнутой cucmeмы должна охватывать точку (-1, j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k — число полюсов передаточной функции W(р) разомкнутой системы с положительной действительной частью.

На рис. 4-4, в в качестве примера показаны две а. ф. ч. х. разомкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии вследствие наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии.

Характеристика 1 соответствует k = 1, а характеристика 2 — значению

k = 2.

При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая

теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы.

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины — запас устойчивости по фазе ∆φ и запас устойчивости по амплитуде ∆L. Эти величины показаны на рис. 4-5 для системы с л. ф. х., представленной кривой 1. Аналогично они могут быть найдены и по а. ф. ч. х.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной ∆φ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза ωс, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости но амплитуде определяется величиной ∆L допустимого подъема л.а.х., при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту пересдачи k разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению.

При проектировании САУ рекомендуется выбирать ∆φ ≥ 30°, a ∆L ≥ 6 дб. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.

Область устойчивости определяет совокупность значений параметров системы, при которых система устойчива.

В случае, если варьируемых параметров два, область устойчивости изображается на плоскости, как показано на рис. 4-6, а. Здесь А и В — варьируемые параметры. На рисунке линией изображена граница устойчивости. Для указания, с какой стороны границы находится область устойчивости, вдоль границы наносится штриховка, которая обращена в сторону области устойчивости. В данном случае область устойчивости является замкнутой, что, однако, необязательно. Каждая точка внутри области устойчивости (рис. 4-6, а) определяет комбинацию варьируемых параметров Ai и Bi при которых система устойчива.

Все пространство вне области устойчивости называется областью неустойчивости. Все точки ее соответствуют значениям параметров, при которых система неустойчива.

При трех варьируемых параметрах область устойчивости получается трехмерной, как показано на рис. 4-6, б, где А, В и С — варьируемые параметры. Граница устойчивости при этом представляет собой трехмерную поверхность. При практических расчетах в этом случае область устойчивости изображается, как показано на рис. 4-6, в, тоже в плоскости двух параметров в виде границ устойчивости, соответствующих нескольким фиксирован-

Рис

ныл значениям третьего параметра. Это соответствует сечениям исходной области устойчивости рядом плоскостей, определяемых фиксированными значениями одного параметра (см. пунктир на рис. 4-6, б).

В общем случае п варьируемых параметров область устойчивости представляет собой гиперповерхность в n-мерном пространстве.

Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она называется структурно неустойчивой. Структурно неустойчивая система не может быть сделана устойчивой путем изменения значений всех ее параметров. Для получения устойчивости в этом случае необходимо изменить структурную схему системы.