2. Индукция магнитного поля соленоида

Соленоидом называется катушка с проволокой, у которой длина больше диаметра. Обычно соленоид предназначен для получения магнитного поля.

Пусть на единицу длины соленоида приходится п витков (рис. 9.2), тогда участок dz содержит ndz витков, которые, согласно (9.7), в точке на оси соленоида создадут индукцию

. (9.8)

Рис. 9.2. К расчету магнитного поля внутри соленоида.

Из рис. 9.2 видно, что , . (9.9)

Подставляя (9.9) в (9.8) и интегрируя полученное выражение от ₁ до ₂, имеем

(cos₁ - cos₂). (9.10)

В случае бесконечного соленоида

₁  0, ₂  , В_z = ₀In . (9.11)

С тем чтобы для расчетов магнитного поля в этой работе можно было воспользоваться геометрическими размерами соленоида, выразим значения косинусов входящие в выражение (9.10). Учтем, что cos₂ = cos(180 - ₃) = - cos₃ (рис. 9.2), тогда

. (9.12)

Начало координат поместим в центр соленоида и обозначим

, , (9.13)

получим:

и . (9.14)

с учетом этих выражений можно воспользоваться выражением (9.12) для расчета поля соленоида как функции расстояния z от центра соленоида. Для этого необходимо знать длину соленоида L, радиус R, ток I, число витков на единицу длины n и надо задать расстояние z от центра соленоида. Надо учитывать, что выражения (9.10, 9.12) строго применимы только для однослойного соленоида.

3. Эффект Холла

Для экспериментального исследования индукции магнитного поля на оси соленоида используют метод, основанный на явлении Холла². Эффект Холла состоит в возникновении разности потенциалов на поперечных сторонах проводника с током помещенном в магнитное поле. Поскольку разность потенциалов иначе ЭДС Холла пропорциональна магнитному полю, то эффект Холла широко используется для измерения индукции магнитного поля.

Датчик Холла. Практически датчик Холла устроен очень просто (рис. 9.3). На диэлектрической подложке 1 находится тонкая (~ 0.1 мм) пластинка из полупроводника 4. К пластике подведены печатные электроды. Два электрода с узкими контактами предназначены для измерения ЭДС Холла 2. По двум широким контактам 3 пропускают ток. Размер датчика обычно не превышает 2х2 мм.

Датчики Холла широко применяются для измерения магнитных полей или для разного рода датчиков срабатывающих при наличии магнитного поля.

При отсутствии поля ЭДС Холла равна нулю в том случае, если измерительные электроды присоединены строго на одной эквипотенциальной поверхности, что часто затруднительно реализовать на практике. Поэтому для разных образцах датчиков может иметь место небольшая остаточная разность потенциалов, которую надо учитывать при точных измерениях. Кроме того, концентрация носителей в полупроводниках сильно зависит от температуры. Соответственно от температуры будет зависеть и ЭДС Холла, что тоже является одним из недостатков этого метода. Однако подбором полупроводникового материала эту погрешность можно свести к минимуму.

Следует учесть, что величина ЭДС Холла сильно зависит от ориентации датчика относительно силовых линий поля. Максимальная ЭДС будет при строго перпендикулярной ориентации датчика относительно силовых линий поля.

В данной работе датчик Холла используется для измерения ЭДС Холла в соленоиде. Так как линии индукции магнитного поля на оси соленоида направлены вдоль оси, то датчик Холла располагается на торце специального штока, который можно вдвигать в соленоид.

Теория эффекта Холла. Рассмотрим проводящую пластину с поперечным сечением a·h и плотностью тока j, поместив ее в поперечное магнитное поле с индукцией В (рис. 9.4). Явление Холла состоит в том, что в проводящей пластинке в магнитном поле, по которой протекает ток, перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы В и j, образуется электрическое поле с напряженностью Е. В результате между боковыми гранями возникает разность потенциалов, равная _х= Еа, которая и называется ЭДС Холла. Если движение частицы происходит как в магнитном поле с индукцией В, так и в электрическом поле с напряженностью Е, то на нее действует сила которую называют силой Лоренца:

F = q[v,B]+qE.

Поэтому физическая природа явления Холла может быть сведена к действию силы Лоренца, а точнее, ее магнитной составляющей q[v, В] на носители заряда в проводнике.

Под действием силы Лоренца носители тока смещаются к боковой грани пластинки, создавая там избыток отрицательного заряда (рис. 9.4). У противоположной грани образуется избыточный заряд противоположного знака, связанный с решеткой.

Рис. 9.4. Возникновение разности потенциалов на торцах пластинки с током в магнитном поле. Условно показан поток электронов в пластинке.

Между положительным и отрицательным зарядами, т. е. между боковыми гранями пластины возникает разность потенциалов _х иначе называемая ЭДС Холла. Ее значение можно найти из условия равновесия между силой Лоренца и возникающей электрической силой: F_Л = F_E, или q·v·В=q·Е, откуда

E = v·B, _х = aE = a·v·B.

Учитывая (9.2), где I = j·S = j·a·h, находим

_{х =} . (9.15)

Здесь R_x постоянная Холла, которая зависит только от величины заряда и концентрации носителей в проводнике:

R_x = 1/(q·n₀) (9.16)

Типичные значения концентрации носителей тока в металлах порядка 10²³, в полуметаллах 10²⁰, а в полупроводниках 10¹⁵. Как можно оценить из выражения 9.15 величина ЭДС Холла будет очень малой в чистых металлах. Зато в полупроводниках ЭДС Холла относительно велика. Поэтому использование полупроводниковых материалов существенно облегчает измерения.

Эффект Холла часто используется для определения концентрации носителей тока при изучении новых материалов. Кроме того, можно легко определять знак носителей тока и соответственно определять имеет ли данный материал электронную или дырочную проводимость.