- •Часть 1. Статика
- •1.1. Равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил
- •1.2. Равновесие тел под действием произвольной пространственной системы сил
- •1.3. Равновесие при наличии трения
- •1.4. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
- •1.5. Центр тяжести
- •Часть 2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.2. Простейшие движения твердого тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •2.6. Сферическое движение твердого тела
2.3. Сложное движение точки
Сложным называется движение точки (или тела), которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета.
Теорема о сложении скоростей. При сложном движении точки абсолютная скорость равна сумме ее относительной и переносной скоростей:
.
Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса). При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки находится как сумма трех ускорений: относительного , переносного и ускорения Кориолиса
, ,
где − угловая скорость переносного вращения.
Пример 2.3.1. Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через точку C, по закону рад (рис. 2.3.1а). Относительно диска по хорде AB движется точка М по закону см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в момент времени t1 = 7 с, если OC = 45 см.
Решение:
1. Точка М совершает сложное движение: движется по диску (относительное движение) и вместе с диском (переносное движение).
2. Определим положение точки на хорде в указанный момент времени
и изобразим ее в заданный момент времени (рис. 2.3.1б).
3. По заданному закону относительного движения определим относительные скорость и ускорение точки M
, .
В момент времени t1:
, .
Изобразим оба вектора (рис. 2.3.2).
4. По заданному закону переносного движения и найденному положения точки M определим ее переносные скорость и ускорение. Угловые скорость и ускорение диска определяются равенствами
, .
Тогда
.
В заданный момент времени:
, .
Изобразим векторы (рис. 2.3.2) с учетом установленного характера движения диска (диск вращается в сторону противоположную указанному на рисунке направлению отсчета угла замедленно).
5. Определим ускорение Кориолиса
.
Для определения направления ускорения Кориолиса можно воспользоваться правилом Жуковского (рис. 2.3.2).
6. Определим абсолютные скорость и ускорение точки M.
По теореме косинусов:
= 52,3 см/с.
(Рассматривая треугольник OCM, получим ).
Ускорение находится по его проекциям на оси координат
,
где
= 99,6 см/с2,
= 43,6 см/с2.
Откуда
a = 109 см/с2.
Задача 2.3.1. Диск радиуса 30 см вращается по закону рад вокруг оси, проходящей через точку О и перпендикулярной его плоскости (рис. 2.3.2). Точка М движется относительно диска по ободу согласно закону см. Определить абсолютные скорость и ускорение точки М в момент времени 1 с.
Ответ: v = 0,63 м/с, a = 2,79 м/с2.
Задача 2.3.2. Квадратная плита вращается по закону рад вокруг оси, проходящей через точку С и перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 2.3.3). Точка М движется относительно плиты по полуокружности радиуса R = 45 см по закону см. Определить абсолютные скорость и ускорение в момент времени 1 с.
Ответ: v = 1,17 м/с, a = 3,06 м/с2.
Задача 2.3.3. Диск радиуса R = 20 см вращается по закону рад вокруг оси, проходящей через точки А и В вдоль его диаметром диска (рис. 2.3.4). Точка М движется относительно диска по ободу согласно закону см. Определить абсолютные скорость и ускорение в момент времени 0,5 с.
Ответ: v = 1,91 м/с, a = 19,6 м/с2.
Задача 2.3.4. Диск радиуса R = 30 см вращается по закону рад вокруг оси, проходящей через точки А и В и касательной к его ободу (рис. 2.3.5). Точка М движется относительно диска по ободу согласно закону см. Определить абсолютные скорость и ускорение в момент времени 2 с.
Ответ: v = 0,773 м/с, a = 2,52 м/с2.
Задача 2.3.5. Полудиск радиуса R = 60 см вращается по закону рад вокруг диаметральной оси, проходящей через точки А и В. Точка М движется относительно диска по полуокружности согласно закону см (рис. 2.3.6). Определить абсолютные скорость и ускорение в момент времени 1 с.
Ответ: v = 0,696 м/с, a = 1,01 м/с2.
Задача 2.3.6. Кольцо радиуса R = 30 см вращается по закону рад вокруг оси, проходящей через точки А и В (рис. 2.3.7). Относительно кольца движется точка М по закону см. Определить абсолютные скорость и ускорение в момент времени 2 с, если OD = 15 см.
Ответ: v = 1,39 м/с, a = 5,68 м/с2.
Задача 2.3.7. Квадрат со стороной 40 см вращается по закону рад вокруг оси, проходящей через точки А и В и совпадающей с диагональю квадрата (рис. 2.3.8). Относительно квадрата по его стороне движется точка М по закону см. Определить абсолютные скорость и ускорение в момент времени 2 с.
Ответ: v = 32,4 см/с, a = 92,1 см/с2.
Задача 2.3.8. Диск радиуса R = 1,2 м вращается по закону рад вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через точку А. Относительно диска движется точка М по ободу согласно закону см (рис. 2.3.9). Определить абсолютные скорость и ускорение в момент времени 2 с, если АВ = 40 см
Ответ: v = 4,33 м/с, a = 16,8 м/с2.
Задача 2.3.9. Треугольник вращается вокруг оси АВ по закону рад (рис. 2.3.10). Относительно треугольника по его гипотенузе движется точка М по закону см. Определить абсолютные скорость и ускорение в
момент времени 1 с, если О1О = 25 см.
Ответ: v = 27 cм/с, a = 64,2 cм/с2.
Задача 2.3.10. В кулисно-ползунном механизме (рис. 2.3.11) стержень 2 движется влево замедленно. В момент времени, когда угол = 30, скорость и ускорение его равны v2 = 1 м/с, a2 = 1 м/с2. Определить угловую скорость и угловое ускорение кулисы 1 в заданном положении механизма, если h = 20 см.
Ответ: 1 = 1,25 рад/с, 1 = 4,16 рад/с2.
Задача 2.3.11. Механизм приводится в движение кривошипом 1, который вращается с постоянной угловой скоростью 1 = 1 рад/с (рис. 2.3.12). Относительно шатуна 2 перемещается точка М по закону см. Определить абсолютное ускорение точки М в момент времени 1/3 с, когда угол = 60, если ОА = СВ = 25 см.
Ответ: a = 2,11 м/с2.
Задача 2.3.12. Конус вращается вокруг своей оси с угловой скоростью рад/с (рис. 2.3.13). Относительно конуса по образующей движется точка M согласно закону см. Определить абсолютные скорость и ускорение точки M в момент времени t1 = 0,25 с, если = 60.
Ответ: v = 0,839 м/с, a = 3,24 м/с2.
Задача 2.3.13. Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается по закону рад. Относительно треугольника по его гипотенузе движется точка M согласно закону см (рис. 2.3.14). Определить абсолютные скорость и ускорение точки M в момент времени 0,5 с, если OB = OA = 40 см.
Ответ: v = 20,3 см/с, a = 59,7 см/с2.
Задача 2.3.14. Диск радиуса R = 40 см вращается с угловой скоростью рад/с. Относительно диска по его ободу движется точка M согласно закону см (рис. 2.3.15). Определить абсолютные скорость и ускорение точки M в момент времени, когда точка в относительном движении пройдет путь равный четверти окружности диска, если OC = 10 см.
Ответ: v = 80,1 см/с, a = 48,2 см/с2.
Задача 2.3.15. В кулисно-ползунном механизме (рис. 2.3.16) стержень 1 вращается по закону рад. Определить абсолютное ускорение стержня 2 в момент времени, когда угол = 30, если h = 34,6 см.
Ответ: v = 1,31 м/с, a = 1,94 м/с2.
Задача 2.3.16. Плоский механизм (рис. 2.3.17) приводится в движение кривошипом 1, который вращается с постоянной угловой скоростью 1 = 2 рад/с. Кривошип при помощи камня 3 приводит в движение кулису 2, а она при помощи камня 4 – стержень 5. Определить абсолютное ускорение стержня 5 в момент времени, когда шарнир в точке B находится в крайнем левом положении, если OC = CD = 40 см, BC = 30 см.
Ответ: a = 10,6 cм/с2.
Задача 2.3.17. Кривошипно-кулисный механизм приводится в движение кривошипом 1 (рис. 2.3.18), который вращается с постоянной угловой скоростью 1 рад/с. Определить максимальную и минимальную угловую скорость качающейся кулисы 3, а также ускорение точки B кулисы в крайних её положениях, если 4OA = 2OC = CB = 80 см.
Ответ: 3min = 0, 3max = 1 рад/с, aB = 46,2 cм/с2.
Рис. 2.3.19 |
Определить скорость и ускорение кулисы 3 как функцию угла .
Ответ:
2.3.1.
а) б)
2.3.2
Рис. 2.3.3
Рис. 2.3.4.
Рис. 2.3.5
Рис. 2.3.6
Рис. 2.3.7
Рис. 2.3.8
Рис. 2.3.9
Рис. 2.3.10
Рис. 2.3.11
Рис. 2.3.12
Рис. 2.3.13
Рис. 2.3.14
Рис. 2.3.15
Рис. 2.3.16
Рис. 2.3.17
Рис. 2.3.18