1.4. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду

Основная теорема статики. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке тела (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки.

Главный вектор системы сил :

определяется своими проекциями на оси координат:

, , ,

.

Главный момент системы сил относительно центра O:

определяется своими проекциями на оси координат:

, , ,

.

Возможны следующие случаи приведения системы сил к центру:

1. , .

Система сил приводится к равнодействующей. Линия действия равнодействующей проходит через центр приведения.

2. , .

Система сил приводится к паре сил.

3. , , − система сил имеет равнодействующую, которая не проходит через центр приведения. Ее линия действия определяется уравнениями

4. , , − система сил приводится к динамическому винту (силе и паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе).

Момент пары сил динамического винта

.

Ось динамического винта определяется уравнениями

.

5. , − уравновешенная система сил.

Пример 1.4.1. Привести систему сил (рис. 1.4.1) к простейшему виду, если F₁ = 5 Н, F₂ = 15 Н, F₃  = 10 Н, F₄ = 3 Н, a = 2 м.

Решение:

1. За центр приведения выберем начало координат – точку O (рис. 1.4.2) и укажем углы  и , определяющие положение силы .

2. Найдем проекции главного вектора на оси координат:

,

,

.

Откуда

 Н,  Н,  Н,

 Н.

3. Вычислим проекции главного момента относительно точки О на оси координат:

,

,

,

Откуда

 Н·м,  Н·м,  Н·м,

 Н·м.

4. Найдем величину скалярного произведения главного вектора и главного момента

.

Так как , то система сил приводится к правому динамическому винту. Вектор момента пары динамического винта и главный вектор совпадают по направлению.

5. Уравнения оси динамического винта имеет вид:

или с учетом найденных значений:

или

.

Для построения оси динамического винта найдем точки A и B ее пересечения с координатными плоскостями Oxy и Oyz, соответственно

–1,703 м

–0,203 м 1,063 м

1,995 м

6. Определим момент пары сил динамического винта

Н·м.

7. По координатам точек A и B изобразим ось динамического винта (рис. 1.4.3). В произвольной точке этой оси укажем силу, равную главному вектору и вектор момента пары .

Задача 1.4.1. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О .

Ответ: да.

Задача 1.4.2. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О .

Ответ: нет.

Задача 1.4.3. Определить расстояние от центра приведения О до линии действия равнодействующей системы сил (рис. 1.4.4), если ее главный вектор R = 15 Н и главный момент М_О = 30 Н·м.

Ответ:  2 м.

Задача 1.4.4. Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.5 системы сил, принимая за центр приведения точку O, если F₁ = F₂ = 2 Н, момент пары сил M₁ = 3 Н·м, OА = 1,5 м.

Ответ: α = 0º.

З

адача 1.4.5. Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.6 системы сил, принимая за центр приведения точку О, если F₁ = F₂ = F₃ = 10 Н, a = 3 м.

Ответ: α = 135º.

Задача 1.4.6. Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рисунке 1.4.7, если F₁ = F₂ = F₃ = 7 Н, а ОА = ОВ = ОС = 2 м. За центр приведения принять точку О.

Ответ: R = 0, М_О = 17,146 Н·м.

Рис. 1.4.6	Рис. 1.4.7

Задача 1.4.7. Привести систему сил, приложенных к вершинам параллелепипеда (рис. 1.4.8), к простейшему виду, если F₁ = 16 Н, F₂ = 12 Н, F₃ = 20 Н, a = с = 2,4 м, b=1,8 м.

Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 48 Н·м.

Задача 1.4.8. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.9), к простейшему виду, если F₁ = 15 Н, F₂  = 40 Н, F₃ = 25 Н, F₄  = F₅ = 20 Н, a = 1,5 м.

Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 63,65 Н·м.

Задача 1.4.9. Привести систему сил, приложенных к правильной четырехугольной пирамиде, как показано на рис. 1.4.10, к простейшему виду, если F₁ = F₂ = F₃ = F₄ = 1 Н, F₅ = 2,83 Н, АВ = AS = 2 м.

Ответ: система сил уравновешена.

Рис. 1.4.8	Рис. 1.4.9
Рис. 1.4.10	Рис. 1.4.11

Задача 1.4.10. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.11), к простейшему виду, если F₁ = F₅ = 10 Н, F₃ = 40 Н, F₄ = 15 Н, F₂ = 9 Н, a = 2,4 м, b = 3,2 м, c = 1 м.

Ответ: система сил приводится к равнодействующей R = 32 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,9; 0; 0).

Задача 1.4.11. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.12), к простейшему виду, если F₁ = F₃ = 3 Н, F₂ = F₆ = 6 Н, F₄ = F₅ = 9 Н, a = 3 м, b = 2 м, c = 1 м.

Ответ: система сил уравновешена.

Задача 1.4.12. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.13), к простейшему виду, если F₁ = F₄ = F₅ = 50 Н, F₂ = 120 Н, F₃ = 30 Н, a = 4 м, b = 3 м, c = 5 м.

Ответ: система приводится к равнодействующей R = 80 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,0,10).

Задача 1.4.13. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.14), к простейшему виду, если a = 1 м, F₁ = 866 Н, F₂ = F₃ = F₄ = F₅ = 500 Н. При решении принять .

Ответ: система приводится к равнодействующей R = 7,07 Н.

Рис. 1.4.12	Рис. 1.4.13
Рис. 1.4.14	Рис. 1.4.15

Задача 1.4.14. Привести систему сил, приложенных к правильной треугольной пирамиде (рис. 1.4.15), к простейшему виду, если F₁ = F₂ = F₃ = F₄ = F₅ = F₆ = 1 Н, АВ = AS = 2 м.

Ответ: система сил приводится к динамическому винту с R = 1,41 Н и М = 1,73 Н·м, ось силового винта проходит через вершину S перпендикулярно основанию пирамиды.

Задача 1.4.15. Вес радиомачты с основанием G = 140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F = 20 кН и равнодействующая сил давления ветра P = 50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 1.4.16). Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.

Ответ: распределенная система сил реакции грунта приводится к левому динамическому винту с силой равной  150 кН и парой с моментом 60 кН∙м. уравнение центральной винтовой оси имеет вид

.