- •Часть 1. Статика
- •1.1. Равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил
- •1.2. Равновесие тел под действием произвольной пространственной системы сил
- •1.3. Равновесие при наличии трения
- •1.4. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
- •1.5. Центр тяжести
- •Часть 2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.2. Простейшие движения твердого тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •2.6. Сферическое движение твердого тела
1.5. Центр тяжести
Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц данного тела.
,
или
Для определения положения центра тяжести однородных тел используют метод симметрии, метод разбиения на тела простой формы с известным положением центров тяжести, а также метод отрицательных масс (линий, площадей, объемов).
Пример 1.5.1. Определить координаты центра тяжести плоской фермы (рис. 1.5.1), составленной из однородных стержней с одинаковым погонным весом.
Решение:
1. Применим метод разбиения, то есть представим ферму как совокупность семи стержней.
2. Найдем координаты центра тяжести фермы по формулам:
; ,
где , , – длина и координаты центра тяжести стержня с номером .
Длины и координаты центров тяжести стержней:
Тогда ,
Пример 1.5.2. Торцевая стена ангара (рис. 1.5.2) имеет форму полукруга 1 радиуса с прямоугольным дверным проемом 2 высотой и шириной Определить координаты центра тяжести стены.
Решение:
1. Применим методы симметрии и отрицательных площадей, рассматривая полукруг 1 и прямоугольный вырез 2.
2. Найдем координаты центра тяжести стены.
Поскольку ось Оy является осью симметрии, то координата
Координату центра тяжести пластины определим по формуле
где , , , – площади и координаты центров тяжести фигур 1 и 2.
Площади и координаты центров тяжести фигур:
Тогда
Задачи 1.5.1 – 1.5.4. Определить координаты центров тяжести плоских ферм (рис. 1.5.3 – 1.5.6), составленных из однородных стержней с одинаковым погонным весом.
Ответы к задачам 1.5.1 – 1.5.4:
Номер задачи |
1.5.1 |
1.5.2 |
1.5.3 |
1.5.4 |
, м |
1,52 |
3,88 |
3,0 |
1,59 |
, м |
0,69 |
1,96 |
1,73 |
0,17 |
Рис. 1.5.3 |
Рис. 1.5.4 |
Рис. 1.5.5 |
Рис. 1.5.6 |
Рис. 1.5.7 |
Рис. 1.5.8 |
Задачи 1.5.5 – 1.5.7. Определить координаты центров тяжести однородных составных линий (рис. 1.5.7 – 1.5.9).
Ответы к задачам 1.5.5 – 1.5.7:
Номер задачи |
1.5.5 |
1.5.6 |
1.5.7 |
|
||
, см |
14 |
19 |
–4,76 |
|
||
, см |
9 |
14,16 |
3,31 |
|
||
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
Рис. 1.5.9 |
Рис. 1.5.10 |
Рис. 1.5.11 |
Рис. 1.5.12 |
Ответ:
Задача 1.5.9. Определить координаты центра тяжести однородной проволоки (рис. 1.5.11), если a = 3 м, b = 2 м, c = 1,5 м.
Ответ: xC = 1,69 м, yC = 1,38 м, zC = 1,33 м.
Задача 1.5.10. Однородный замкнутый контур, ограничивающий полукруг, подвешен на нити (рис. 1.5.12). Определить угол α между горизонталью и диаметром полуокружности.
Ответ: α = 68,74º.
Задачи 1.5.11 – 1.5.14. Определить координаты центров тяжести однородных плоских фигур (рис. 1.5.13 – 1.5.16).
Ответы к задачам 1.5.11 – 1.5.14:
Номер задачи |
1.5.11 |
1.5.12 |
1.5.13 |
1.5.14 |
0 |
37,07 см |
32,38 см |
2,31 м |
|
11,88 см |
0 |
24,83 см |
1,56 м |
Рис. 1.5.13 |
Рис. 1.5.14 |
Рис. 1.5.15 |
Рис. 1.5.16 |
Рис. 1.5.17 |
Рис. 1.5.18 |
Ответ:
Задача 1.5.16. Цапфа подшипника скольжения представляет собой деталь, состоящую из параллелепипеда и цилиндрической опоры (рис. 1.5.18). Определить координаты центра тяжести цапфы. Размеры указаны в миллиметрах.
Ответ: , ,
Задача 1.5.17. Однородное тело, сечение которого изображено на рисунке 1.5.19, состоит из полушара, цилиндрической части и кругового конуса. Определить координаты центра тяжести тела. Размеры указаны в миллиметрах.
Ответ: , ,
Задача 1.5.18. Ствол танковой пушки имеет форму усеченного конуса длины (рис. 1.5.20). Наружный диаметр ствола в месте крепления к казенной части пушки наружный диаметр в сечении, соответствующем дульному срезу канала ствола, Калибр пушки d =100 мм. Определить координату центра тяжести ствола.
Ответ:
Задача 1.5.19. Определить координаты центра тяжести однородного тела, состоящего из двух прямоугольных параллелепипедов (рис. 1.5.21). В нижнем параллелепипеде сделан вырез в форме четверти цилиндра с радиусом основания R = 10 см. Размеры на рисунке указаны в см.
Ответ: xC = 17,1 см, yC = 20,99 см, zC = 7,84 см.
Задача 1.5.20. Определить координаты центра тяжести однородного тела (рис. 1.5.22), состоящего из треугольной призмы и параллелепипеда с вырезом. Размеры на рисунке указаны в см.
Рис. 1.5.19 |
Рис. 1.5.20 |
Рис. 1.5.21 |
Рис. 1.5.22 |
Ответ: xC = 20,14 см, yC = 35,14 см, zC = 5 см.