1.5. Центр тяжести

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц данного тела.

,

или

Для определения положения центра тяжести однородных тел используют метод симметрии, метод разбиения на тела простой формы с известным положением центров тяжести, а также метод отрицательных масс (линий, площадей, объемов).

Пример 1.5.1. Определить координаты центра тяжести плоской фермы (рис. 1.5.1), составленной из однородных стержней с одинаковым погонным весом.

Решение:

1. Применим метод разбиения, то есть представим ферму как совокупность семи стержней.

2. Найдем координаты центра тяжести фермы по формулам:

; ,

где , , – длина и координаты центра тяжести стержня с номером .

Длины и координаты центров тяжести стержней:

Тогда ,

Пример 1.5.2. Торцевая стена ангара (рис. 1.5.2) имеет форму полукруга 1 радиуса с прямоугольным дверным проемом 2 высотой и шириной Определить координаты центра тяжести стены.

Решение:

1. Применим методы симметрии и отрицательных площадей, рассматривая полукруг 1 и прямоугольный вырез 2.

2. Найдем координаты центра тяжести стены.

Поскольку ось Оy является осью симметрии, то координата

Координату центра тяжести пластины определим по формуле

где , , , – площади и координаты центров тяжести фигур 1 и 2.

Площади и координаты центров тяжести фигур:

Тогда

Задачи 1.5.1 – 1.5.4. Определить координаты центров тяжести плоских ферм (рис. 1.5.3 – 1.5.6), составленных из однородных стержней с одинаковым погонным весом.

Ответы к задачам 1.5.1 – 1.5.4:

Номер задачи	1.5.1	1.5.2	1.5.3	1.5.4
, м	1,52	3,88	3,0	1,59
, м	0,69	1,96	1,73	0,17

Рис. 1.5.3	Рис. 1.5.4
Рис. 1.5.5	Рис. 1.5.6
Рис. 1.5.7	Рис. 1.5.8

Задачи 1.5.5 – 1.5.7. Определить координаты центров тяжести однородных составных линий (рис. 1.5.7 – 1.5.9).

Ответы к задачам 1.5.5 – 1.5.7:

Номер задачи	1.5.5	1.5.6			1.5.7
, см	14	19			–4,76
, см	9	14,16			3,31

Рис. 1.5.9	Рис. 1.5.10
Рис. 1.5.11	Рис. 1.5.12

Задача 1.5.8. Изогнутая под прямым углом однородная проволока подвешена на нити (рис. 1.5.10). Найти соотношение между длинами участков AD и AE, при котором участок AE находится в горизонтальном положении. АВ = 0,3 l₁.

Ответ:

Задача 1.5.9. Определить координаты центра тяжести однородной проволоки (рис. 1.5.11), если a = 3 м, b = 2 м, c = 1,5 м.

Ответ: x_C = 1,69 м, y_C = 1,38 м, z_C = 1,33 м.

Задача 1.5.10. Однородный замкнутый контур, ограничивающий полукруг, подвешен на нити (рис. 1.5.12). Определить угол α между горизонталью и диаметром полуокружности.

Ответ: α = 68,74º.

Задачи 1.5.11 – 1.5.14. Определить координаты центров тяжести однородных плоских фигур (рис. 1.5.13 – 1.5.16).

Ответы к задачам 1.5.11 – 1.5.14:

Номер задачи	1.5.11	1.5.12	1.5.13	1.5.14
	0	37,07 см	32,38 см	2,31 м
	11,88 см	0	24,83 см	1,56 м

Рис. 1.5.13	Рис. 1.5.14
Рис. 1.5.15	Рис. 1.5.16
Рис. 1.5.17	Рис. 1.5.18

Задача 1.5.15. Подставка для цапфы подшипника представляет собой деталь, состоящую из опоры в виде параллелепипеда и шпонки в форме куба (рис. 1.5.17). Определить координаты центра тяжести подставки. Размеры указаны в миллиметрах.

Ответ:

Задача 1.5.16. Цапфа подшипника скольжения представляет собой деталь, состоящую из параллелепипеда и цилиндрической опоры (рис. 1.5.18). Определить координаты центра тяжести цапфы. Размеры указаны в миллиметрах.

Ответ: , ,

Задача 1.5.17. Однородное тело, сечение которого изображено на рисунке 1.5.19, состоит из полушара, цилиндрической части и кругового конуса. Определить координаты центра тяжести тела. Размеры указаны в миллиметрах.

Ответ: , ,

Задача 1.5.18. Ствол танковой пушки имеет форму усеченного конуса длины (рис. 1.5.20). Наружный диаметр ствола в месте крепления к казенной части пушки наружный диаметр в сечении, соответствующем дульному срезу канала ствола, Калибр пушки d =100 мм. Определить координату центра тяжести ствола.

Ответ:

Задача 1.5.19. Определить координаты центра тяжести однородного тела, состоящего из двух прямоугольных параллелепипедов (рис. 1.5.21). В нижнем параллелепипеде сделан вырез в форме четверти цилиндра с радиусом основания R = 10 см. Размеры на рисунке указаны в см.

Ответ: x_C = 17,1 см, y_C = 20,99 см, z_C = 7,84 см.

Задача 1.5.20. Определить координаты центра тяжести однородного тела (рис. 1.5.22), состоящего из треугольной призмы и параллелепипеда с вырезом. Размеры на рисунке указаны в см.

Рис. 1.5.19	Рис. 1.5.20
Рис. 1.5.21	Рис. 1.5.22

Ответ: x_C = 20,14 см, y_C = 35,14 см, z_C = 5 см.