- •Часть 1. Статика
- •1.1. Равновесие тел под действием произвольной плоской системы сил
- •1.2. Равновесие тел под действием произвольной пространственной системы сил
- •1.3. Равновесие при наличии трения
- •1.4. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
- •1.5. Центр тяжести
- •Часть 2. Кинематика
- •2.1. Кинематика точки
- •2.2. Простейшие движения твердого тела
- •2.3. Сложное движение точки
- •2.6. Сферическое движение твердого тела
1.2. Равновесие тел под действием произвольной пространственной системы сил
Для равновесия тела под действием произвольной пространственной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов сил относительно этих осей были равны нулю:
, , ,
, , .
Пример 1.2.1. Однородная квадратная плита 1 (рис. 1.2.1) удерживается в горизонтальном положении сферическим шарниром в точке A, цилиндрическим шарниром в точке B и невесомым стержнем 2. Плита нагружена силой F = 4 кН расположенной в плоскости Ayz. Определить реакции шарниров и усилие в стержне, если вес плиты 10 кН.
Рис. 1.2.1 |
-
Рассмотрим равновесие плиты, мысленно освобождая ее от наложенных связей (сферический шарнир в точке А, цилиндрический шарнир в точке В и стержень 2).
-
Изобразим силу тяжести плиты и реакции внешних связей, приложенных к плите (рис. 1.2.2).
-
Используя условия равновесия плиты, находящейся под действием пространственной системы сил, и обозначая длину отрезка и через , находим
Рис. 1.2.2 |
Откуда
; YA = 8,4 кН; ZA = 13,4 кН; YB = 0; ZB = 3,5 кН; RC = 16,9 кН.
Модуль реакции шарнира в точке А определяется по ее составляющим равенством
.
Откуда .
Рис. 1.2.3 |
Решение:
-
Рассмотрим равновесие турбины с валом и колесом, мысленно освобождая ее
Рис. 1.2.4 |
-
Изобразим силу тяжести турбины с валом и колесом и реакции внешних связей, приложенных к валу (рис. 1.2.4).
-
Используя условия равновесия турбины с валом и колесом, находящейся под действием пространственной системы сил, находим
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
Откуда
кН, кН,
кН, кН, кН
и кН, кН.
Задача 1.2.1. Груз 1 массы 40 кг поднимается равномерно при помощи ворота 2, который приводится в движение цепью 3, соединённой с мотором 4 (рис. 1.2.5). Нижняя ветвь цепи параллельна оси Вy, а верхняя составляет с прямой, параллельной оси Вy, угол = 30. Пренебрегая весом цепи, определить реакции подшипников в точках А и В, а также натяжения в ветвях цепи, если натяжение ведущей ветви T в 1,5 раза больше натяжения ведомой t, a = с = 2b, R = 3r, а = 15 см.
Ответ: T = 392 Н; t = 261,33 Н; YA = –247 Н; ZA = 287,5 Н; YB = – 371 Н; ZB = 235 Н.
Рис. 1.2.5 |
Рис. 1.2.6 |
Задача 1.2.2. Прямоугольная однородная крышка (рис. 1.2.6) веса 490 Н удерживается в наклонном положении невесомой горизонтальной нитью, соединяющей точки С и Е, сферическим шарниром в точке А и цилиндрическим шарниром в точке В. Определить реакции шарниров и натяжение нити, если АВ = 3ВС = 1,5 м.
Ответ: XA = 141 Н, YA = 849 Н, ZA = 490 Н, RВ = 0 Н, T = 860 Н.
Рис. 1.2.7 |
Ответ: YA = 12 кН, ZA = –4,7 кН, XB = –13,9 кН, YB = –12 кН, ZB = 18 кН, RD = 14,7 кН.
Задача 1.2.4. На коленчатый вал АВ действуют сила Q и сила P (рис. 1.2.8). Определить реакции подшипников в точках А и В и угол α при равновесии вала, если Q = P = 4 кН, AC = CD = BD = a, c = d.
Ответ: XA = –4,62 кН, ZA = –4 кН, XB = 1,15 кН, ZB = –2 кН, α = 30°.
Рис. 1.2.8 |
Рис. 1.2.9 |
Задача 1.2.5. Однородная квадратная плита веса 2 кН, закрепленная цилиндрическим шарниром в точке B и сферическим шарниром в точке A, удерживается в горизонтальном положении невесомым вертикальным стержнем в точке C (рис. 1.2.9). На плиту действует сила F = 4 кН, параллельная плоскости Axz. Определить реакции связей, если = 60
Ответ: XA = –2 кН, YA = –2 кН, ZA = 1 кН, YB = 2 кН, ZB = 0, RС = 2,46 кН.
Рис. 1.2.10 |
Ответ: Q = 1000 Н, XA = 250 Н, YA = –6,7 Н, ZA = 0, XB = –750 Н, YB = –179,9 Н.
Задача 1.2.7. Однородная квадратная плита веса 160 Н удерживается в горизонтальном положении цилиндрическим шарниром в точке B, сферическим шарниром в точке A и идеальным стержнем в точке D (рис. 1.2.11). Определить реакции связей, если на плиту действуют силы P1 = 80 Н и P2 = 50 Н, приложенные в серединах соответствующих сторон, AE = AD.
Ответ: XA = –105 Н, YA = –50 Н, ZA = 40 Н, XB = 25 Н, ZB = 120 Н, RD = 113 Н.
Рис. 1.2.11 |
Рис. 1.2.12 |
Задача 1.2.8. Груз 1 веса 1,2 кН удерживается в равновесии силой P, приложенной параллельно оси Ax к рукоятке 3 ворота 2 (рис. 1.2.12). Определить реакции подшипников вала в точках А и В, а также величину силы Р, если a = 40 см, b = 50 см, с = 10 см, DE = 50 см, R = 20 см.
Ответ: XA = –48 Н, YA = 600 Н, XB = 528 Н, YB = 600 Н, Р = 480 Н.
Рис. 1.2.13 |
Ответ: XA = 120 Н, YA = –129,3 Н, ZA = 114,6 Н, YD = –12,7 Н, ZD = 87,3 Н, m = 15 кг.
Задача 1.2.10. Однородная квадратная плита массы 50 кг закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и опирается на ребро в точке С (рис. 1.2.14). На плиту действует сила F = 240 Н, параллельная плоскости Аxz. Определить реакции опор, если 2ВЕ = ЕС, = 30, = 30.
Ответ: XA = 208 Н, YA = 60 Н, ZA = 210 Н, YB = –183 Н, ZB = 186 Н, RС = 247 Н.
Рис. 1.2.14 |
Рис. 1.2.15 |
Рис. 1.2.16 |
Задача 1.2.11. Однородная плита веса 6 кН подвешена при помощи стержней 1, 2,…, 6, весом которых можно пренебречь (рис. 1.2.15). На плиту действуют сила P = 2 кН и пара сил, расположенная параллельно плоскости Ayz, с моментом M = 2 кН∙м. Определить усилия в стержнях, если АВ = ВС = 2 м, AE = 20 см, длины стержней 1, 3 и 5 равны 1 м.
Ответ: S1 = –2,8 кН, S2 = –2,24 кН, S3 = 2,2 кН, S4 = –2,24 кН, S5 = 4 кН, S6 = –2,24 кН.
Задача 1.2.12. Два шарнирно-соединенных между собой однородных стержня веса 6 кН и длины 4 м, закреплены сферическими шарнирами в точках A и B (рис. 1.2.16). Стержни удерживаются в указанном положении невесомым вертикальным тросом в точке D. На стержни действуют пары сил, лежащие в горизонтальной плоскости, с моментами M1 и M2. Определить реакции шарниров в точках А и В, а также силу натяжения троса, если M1= M2 =8 кН∙м, CD = 1 м
Ответ: XA = 2 кН, YA = 2 кН, ZA = 3 кН, XB = –2 кН, YB = –2 кН, ZB = 1 кН, T = 8 кН.
Задача 1.2.13. Однородная квадратная плита веса 240 Н закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и удерживается в точке D идеальным стержнем (рис. 1.2.17). На плиту действует пара сил, лежащая в плоскости плиты, с моментом М = 120 Н∙м. Определить реакции связей, если AВ = AD = ВE = 1 м.
Ответ: XA = –120 Н, YA = –120 Н, ZA = 0, XB = 0, ZB = 120 Н, RD = 208 Н.
Рис. 1.2.17 |
Рис. 1.2.18 |
Рис. 1.2.19 |
Задача 1.2.14. На ворот веса 500 Н действует сила Р = 200 Н, приложенная к точке D колеса радиуса r перпендикулярно оси Оy (рис. 1.2.18). Определить реакции подпятника в точке O и подшипника в точке B, а также натяжения Т1 и Т2 в ветвях ремня, охватывающего шкив радиуса R, если ОА = АВ = ВС =50 см, r = 30 см, R = 40 см, Т1 = 1,5Т2.
Ответ: XO = 38,9 Н, YO = –190 Н, ZO = 600 Н, XB = –350 Н, YB = –232 Н, T1 = 276 Н, T2 = 184 Н.
Задача 1.2.15. Перекрытие, состоящее из двух однородных прямоугольных пластин веса 1,6 кН каждая, закреплено сферическим шарниром в точке О, цилиндрическим шарниром в точке А и удерживается в точке D стержнем (рис. 1.2.19). На горизонтальную пластину действует пара сил с моментом М = 2,4 кН∙м, а на вертикальную сила Р = 2 кН, расположенная в горизонтальной плоскости. Определить реакции связей, если ОА = 3 м, ЕС = ОС = 1 м, ЕК = KD.
Ответ: XA = 0,88 кН, ZA = –0,38 кН, RD = 1,4 кН, XO = –1,88 кН, YO = –1,73 кН, ZO = 2,18 кН.
Рис. 1.2.20 |
Ответ: = 90, XA = –1,65 кН, YA = –0,38 кН, ZA = 3,2 кН, XB = 5,21 кН, YB = –3,18 кН, RD = 4,46 кН.