лекции / Лекции дсау / ДСАУ 2-3

2. Основы математического аппарата и общие принципы построения импульсных систем. Дискретные процессы и их описание.

2.3. Дискретные процессы и их описание

2.3.1. Решетчатые функции

Решетчатой функцией называют функцию времени f[nT], или в сокращенной записи f[n], значения которой определены в дискретные моменты времени t = nT, где n – целое число, а Т – период повторения. Операция замены непрерывной функции решетчатой, представленная на рис. 2.19, может быть выражена как

f[n] = f(t)|_t=nT (2.23)

Рис. 2.19. Функции времени: а—непрерывная; б—дискретная; в — смещенная решетчатая

Непрерывная функция времени (рис. 2.19, а) служит для образования дискретной (решетчатой) (рис. 2.19, б). Изображенные на рис. 2.19, б ординаты исходной функции времени представляют собой дискреты, определенные для мо­ментов времени t=nT. Дискреты могут определяться также и для смещенных моментов времени t = nT + T = (n + ε)T. Смещение T = const может быть положительной или отрицательной величиной при выполнении условия |T| < T, или | ε | = |T/T| < 1. Образование смещенной решетчатой функции f[n, ε] из непрерывной функции f(t) для случая T>0 показано на рис. 2.19,в.

Решетчатая функция не обязательно должна формироваться из некоторой исходной непрерывной функции. Любая числовая последовательность некоторой величины, определенной в дискрет­ные равноотстоящие моменты времени, может трактоваться как решетчатая функция.

Обратная задача — формирование непрерывной функции из решетчатой — не может быть решена однозначно, так как функ­ции, заданной в дискретные моменты времени, может соответст­вовать бесконечное множество непрерывных функций. Непрерыв­ные функции, совпадающие с заданными дискретами, называются огибающими решетчатой функции.

2.3.2. Прямая и обратная разности

Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность

f[n] = f[n+1] – f[n], (2.24)

либо первая обратная разность

f[n] = f[n] – f[n-1]. (2.25)

Разности могут быть определены и для смещенных решетчатых функций f[n, ε].

Прямая разность определяется в момент времени t = nТ по будущему значению решетчатой функции при t = (n+1)T. Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно, либо, если это будущее значение нужно вычислить. Обратная разность определяется для момента времени t = nT по прошлому значению решетчатой функции в момент времени t = (n-1)T.

2.3.2. Разностные уравнения

4