2.4.2. Временные характеристики

Дифференциальное уравнение не дает наглядного представления о динамических свойствах элемента, но такое представление дает функция y(t), т. е. решение этого уравнения.

Однако одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, зависящих от начальных условий и характера входного воздействия x(t), что неудобно при сопоставлении динамических свойств различных элементов. Поэтому было решено характеризовать эти свойства элемента толькооднимрешением дифференциального уравнения, полученным принулевыхначальных условиях и одном изтиповыхвоздействий: единичном ступенчатом, дельта-функции, гармоническом, линейном. Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает егопереходная функция h(t).

Переходная функция h(t) элемента – изменение во времени выходной величины y(t) элемента при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях.

Переходная функция может быть задана:

• в виде графика;

• в аналитическом виде.

Переходная функция, как и любое решение неоднородного (с правой частью) дифференциального уравнения (2.19), имеет две составляющие:

• вынужденную h_в(t) (равна установившемуся значению выходной величины);

• свободную h_с(t) (решение однородного уравнения).

Вынужденную составляющую можно получить решая уравнение (2.19) при нулевыхпроизводных иx(t) = 1

(2.20)

Свободную составляющую получаем решая уравнение (2.19) при нулевой правой части

h_с(t) = (2.21)

где p_k – k-й корень характеристического уравнения(в общем случае комплексное число);С_k - k-я постоянная интегрирования(зависит от начальных условий).

Характеристическое уравнение – алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части линейного дифференциального уравнения вида (2.19)

a₀ pⁿ + a₁ p^{n –1} +…+ a_n = 0. (2.22)

2.4.3. Передаточная функция

Наиболее распространенным методом описания и анализа АСУ является операционный метод (метод операционного исчисления), в основе которого лежит прямое интегральное преобразование Лапласа для непрерывных функций

F(p) =  f(t) = f(t) e^-pt dt. (2.23)

Это преобразование устанавливает соответствие между функцией действительной переменной tи функцией комплексной переменнойp =  + j. Функциюf(t), входящую в интеграл Лапласа (2.23), называюторигиналом, а результат интегрирования – функциюF(p) – изображением функцииf(t) по Лапласу.

Преобразование выполнимо лишь для функций, которые равны нулю приt 0. Формально это условие в ТАУ обеспечивается умножением функцииf(t) на единичную ступенчатую функцию1(t) или выбором начала отсчета времени с момента, до которогоf(t) = 0.

Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа при нулевыхначальных условиях являются:

  f(t) = pF(p); (2.24)

 f (t)dt =F(p) / p. (2.25)

Операционный метод в ТАУ получил широкое распространение, так как с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.

Применяя прямое преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (2.19) с использованием свойства (2.24) получим алгебраическое уравнение

D(p)Y(p) = K(p)X(p), (2.26)

где

D(p) = a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 +…+ a_n - собственный оператор; (2.27)

K(p) = b₀ p^m + b₁ p^m-1 +…+ b_m - входной оператор. (2.28)

Введем понятие передаточной функции.

Передаточная функция – отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

(2.29)

Тогда с учетом уравнения (2.26) и обозначений (2.27, 2.28) выражение для передаточной функции принимает вид:

(2.30)

Значение переменной p, при которой передаточная функцияW(p) обращается в бесконечность, называетсяполюсом передаточной функции. Очевидно, что полюсами являются корни собственного оператораD(p).

Значение переменной p, при которой передаточная функцияW(p) обращается в нуль, называетсянулем передаточной функции. Очевидно, что нулями являются корни входного оператораK(p).

Если коэффициент a₀  0, то передаточная функция не имеет нулевого полюса (p = 0 ), характеризуемый ей элемент называютастатическим и передаточная функция этого элемента приp = 0 ( t =  )равнапередаточному коэффициенту

(2.31)