Свойства преобразования Лапласа
Линейность ℒ
;
.
2.
Теорема смещения 
:
ℒ
.
Дифференцирование ℒ
,
ℒ
.
Интегрирование ℒ
;
;
Теорема умножений (свертка) ℒ
,
где
;
.
Теорема подобия ℒ
.
Теорема о начальном значении
.Теорема о предельном значении
.
Примеры преобразования Лапласа для некоторых функций:
Оригинал
Изображение
;
;
;
;
;
;
;
(ступенчатая функция);
(импульсный сигнал).
Передаточная функция звена
Передаточной функцией звена называется отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала звена.
Иногда для описания передаточных функций звена используется обозначение K(s).
Связь оператора s с физикой
В линейной системе переходный процесс, описываемый дифференциальным уравнением, может быть очень сложной функцией времени, но весь он состоит из линейной комбинации двух видов кривых – экспонент и синусоид.
При этом в
устойчивой системе все экспоненты
затухающие. Оператор Лапласа s
- число комплексное: 
.
с – свидетельствует о величине экспоненты;
-
характеризует частоту.
Частотные характеристики звеньев
Переход от передаточной
функции звена осуществляется простой
заменой 
.
То есть из рассматриваемого процесса как бы исключается экспонента. Физически частотные характеристики звена имеют очень простую интерпретацию.
Пусть
-
синосоидальное входное воздействие.
Тогда в установившемся режиме выходной
сигнал также будет синусоидальным:
.
Комплексный коэффициент усиления
.
может быть получен экспериментально,
либо путем подстановки
в передаточную функцию звена вместо
.
.
- АЧХ – амплитудно-частотная характеристика
звена;
-
ФЧХ – фазо-частотная характеристика
звена.
Таким образом
- АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная
характеристика.
- ВЧХ – вещественная частотная
характеристика;
- МЧХ – мнимая частотная характеристика.
Можно по ВЧХ и МЧХ определить АЧХ и ФЧХ:
;
Логарифмические частотные характеристики лах и лфх
По оси ординат откладываются в
логарифмическом масштабе значения
.
.
Из разделов физики известно, что
(мощность)
и
.
- [Белл],
- [децибелл].
По оси
абсцисс откладывается угловая частота
(относительное значение). Если
откладывается в логарифмическом масштабе
по основанию 10 (как на рисунке), то
единицей измерения является декада.
Если
(в логарифмическом масштабе по основанию
2),то вместо декады будет октава.
Логарифмические характеристики применяются из-за их удобства, так как при последовательном соединении звеньев характеристики этих звеньев, построенные в логарифмическом масштабе, складываются. Поэтому методы анализа и синтеза с помощью ЛАХ очень просты.
Если АЧХ чаще всего очень сложные функции
от
,
то ЛАХ легко аппроксимируются отрезками
прямых.