4. Средняя гармоническая. Критерий выбора формы средней

В ряде случаев исходные данные и смысл производимых расчётов приводят к необходимости вычисления средней гармонической, которая может быть простой и взвешенной.

Простая средняя гармоническая имеет вид:

.

Средняя гармоническая взвешенная вычисляется по формуле:

.

Решая задачи по этой теме, необходимо, прежде всего, научиться правильно выбирать в каждом конкретном случае формулу средней величины. При выборе средней (арифметической или гармонической) следует исходить из экономического содержания усредняемого показателя. Первый этап вычисления средней – это запись исходного соотношения средней или ее логической формулы. Логическая формула вытекает из сущности средней. Средняя величина признака – это отношение. Поэтому прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы (слайды):

Средняя выработка продукции на одного рабочего:

Средний процент рабочих, перевыполняющих нормы выработки:

Средняя заработная плата:

Средний размер вклада в банке:

Средний процент выполнения плана:

Средний процент брака:

Средняя урожайность:

Если исходное соотношение записано правильно, то выбор формулы средней определяется характером исходных данных.

Если известны слагаемые знаменателя исходного соотношения, а слагаемые числителя можно определить как произведение двух известных показателей, то применяют среднюю арифметическую взвешенную:

.

Если известны слагаемые числителя исходного соотношения, а слагаемые знаменателя можно определить как частное от деления одного известного показателя на другой, то применяют среднюю гармоническую взвешенную:

Если известны и слагаемые знаменателя и слагаемые числителя исходного соотношения, то средняя вычисляется в явном виде:

.

Пример (слайд) – Имеются следующие данные по цехам предприятия за январь и февраль:

Цех	Январь		Февраль
	Средняя заработная плата рабочих, ден. ед.	Число рабочих	Средняя заработная плата рабочих, у.е.	Фонд заработной платы рабочих, ден. ед.
1	1600	105	1650	171600
2	1750	90	1780	169100
3	1900	98	1960	196000

Определите среднюю заработную плату за январь и февраль в целом.

Решение. Запишем исходное соотношение средней:

По исходным данным за январь месяц известны слагаемые знаменателя исходного соотношения, а слагаемые числителя можно определить как произведение двух известных показателей, следовательно применим среднюю арифметическую взвешенную:

ден. ед.

По исходным данным за февраль месяц известны слагаемые числителя исходного соотношения, а слагаемые знаменателя можно определить как частное от деления одного известного показателя на другой, таким образом применим среднюю гармоническую взвешенную:

ден. ед.

Итак, при расчете одного и того же показателя – среднего размера заработной платы в целом по совокупности – в первом случае (январь) использовалась средняя арифметическая взвешенная, во втором (февраль) – средняя гармоническая взвешенная. Это обусловлено, прежде всего, одной и той же логической формулой для вычисления искомого показателя, но вместе с тем различными исходными данными, которые были представлены в таблице.

При решении задач необходимо писать формулы средних, указывать, что является вариантами, а что – весами в каждой задаче.