Тема. Средние величины
1. Понятие средней величины.
2. Средняя арифметическая и её свойства.
3. Вычисление средней по данным интервального вариационного ряда.
4. Средняя гармоническая. Критерий выбора формы средней.
5. Структурные средние.
1. Понятие средней величины
В процессе обработки и обобщения статистических данных возникает необходимость определения средних величин. Средняя величина (слайд) – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени. Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней. Средние, исчисленные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.
Признак, для
которого исчисляется средняя величина,
называется варьирующим (осредняемым).
Единицы варьирующего признака, каждая
из которых имеет определенное числовое
выражение, называются вариантами
(слайд),
и обозначается
.
Средняя обозначается через
.
Такой способ обозначения указывает на
происхождение средней из конкретных
величин, черта сверху символизирует
процесс осреднения индивидуальных
значений. Число единиц –
.
Показатели частоты, повторяемости
вариант называют весами
и обозначают
.
Существует две категории средних величин (рисунок 1) (слайд): степенные средние (к ним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и др.), а также структурные средние (среди которых наиболее распространены мода и медиана).
Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.
Простая степенная средняя имеет следующий вид:
.
Взвешенная степенная средняя имеет общий вид:
.
С изменением показателя степени к приходим к определенному виду средней:
при
– средняя гармоническая;
при
– средняя геометрическая;
при
– средняя арифметическая;
при
– средняя квадратическая;
при
– средняя кубическая.
Если рассчитывать
все виды средних для одних и тех же
данных, то их значения окажутся
неодинаковыми. Здесь действует правило
мажорантности
средних: с увеличением показателя
степени
увеличивается и соответствующая средняя
величина:
.
2. Средняя арифметическая и её свойства
Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.
Простая средняя арифметическая вычисляется в тех случаях, когда каждая из вариант встречается в изучаемом явлении один или одинаковое число раз, а так же если данные не сгруппированы.
Формула простой средней арифметической имеет следующий вид:
.
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется в тех случаях, когда различные варианты встречаются в изучаемой совокупности неодинаковое число раз:
.
Свойства средней арифметической:
Свойство 1.
Средняя арифметическая постоянной
величины
равна ей самой:
Свойство 2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведения отдельных вариантов на соответствующие им частоты:
Свойство 3 (нулевое). Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равно 0:
Свойство 4 (минимальное). Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное:
Что означает: Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения (А), сколь угодно мало отличающегося от средней у выбранной единицы изучаемой совокупности:
.
Свойство 5. Если значения признака каждой единицы совокупности (все усредняемые варианты) уменьшить или увеличит на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на туже величину А:
.
Свойство 6. Если значения признака каждой единицы совокупности разделить или умножить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится в А раз:
Свойство 7. Если вес (частоту) каждого значения признака разделить или умножить на постоянное число А, то средняя арифметическая не изменится:
.