4. 1.4 Критерии точности измерений

Основным критерием точности результатов измерений является средняя квадратическая ошибка — оценка среднего квадратического отклонения, определяемая по формуле

.

Для ряда истинных ошибок  при известном формула  принимает вид (1.3) и называется формулой Гаусса:

,

где ; .

Средней ошибкой  называют оценку среднего отклонения ₁ (центрального абсолютного момента первого порядка) и вычисляют по формуле:

.

Вероятной ошибкой  называют оценку вероятного отклонения r. -это такое значение случайной ошибки , больше или меньше которого, по абсолютной величине, ошибки равновозможны, т.е.

.

На практике определяется величиной, которую находят, расположив все ошибки _i в ряд в порядке возрастания их абсолютных величин. Вероятная ошибка  будет расположена в середине такого ряда.

При нормальном законе распределения случайных ошибок имеют место соотношения:

;

Соотношения  называют критериями нормального закона (в разделе I, п. 3.5 они представлены в виде ; ).

Предельной ошибкой называют такую ошибку, больше которой в ряде измерений ошибок не должно быть. В качестве предельных выбирают величины, определяемые по правилу

и

(с вероятностями 0,954 и 0,997 соответственно).

Перечисленные выше критерии , m, , , называют абсолютными ошибками.

Относительной ошибкой называют отношение соответствующей абсолютной ошибки к значению измеряемой величины X (если X неизвестно, его заменяют результатом измерения x).

Относительную ошибку обычно выражают в виде дроби с числителем, равным 1, например:

 — средняя квадратическая относительная ошибка;

 — предельная относительная ошибка величины X.

Значения абсолютных ошибок получают с двумя–тремя значащими цифрами, а знаменатель относительной ошибки округляют до двух значащих цифр с нулями.

Например, при и .

.

5. 1.5 Исследование ряда истинных ошибок на нормальное распределение

Для решения этой первой задачи теории ошибок используем методику, изложенную в разделе математической статистики, а также выполним вычисления по формулам (1.1–1.5) настоящего раздела.

Задача 1.1. В таблице 1.1 даны невязки 32‑х треугольников. Невязки можно считать истинными ошибками , так как сумму углов в треугольнике можно рассматривать как измеренную величину, истинное значение которой равно . Выполнить исследование ряда невязок  на нормальный закон распределения.

Таблица 1.1
№	невязки i	№	невязки i	№	невязки i	№	невязки i
1	–0,76″	9	+1,29″	17	+0,71″	25	+0,22″
2	+1,52″	10	+0,38″	18	+1,04″	26	+0,06″
3	–0,24″	11	–1,03″	19	–0,38″	27	+0,43″
4	+1,31″	12	+0,00″	20	+1,16″	28	–1,28″
5	–1,27″	13	–1,23″	21	–0,19″	29	–0,41″
6	–1,88″	14	–1,38″	22	+2,28″	30	–2,50″
7	+0,01″	15	–0,25″	23	+0,07″	31	+1,92″
8	–0,69″	16	–0,73″	24	–0,95″	32	–0,62″

Найдём ряд сумм, необходимых для дальнейшего исследования:

; ; ; ;

; ; .

Решение:

1. Вычисление оценок параметров нормального распределения , , кривая плотности которого определяется выражением :

,^)

.

2. Вычисление средней ошибки  и коэффициента :

;

; .

3. Определение вероятной ошибки  и коэффициента .

Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных величин:

+0,00; +0,01; +0,06;+0,07; –0,19; +0,22; –0,24; –0,25; +0,38; –0,38; –0,41; +0,43; –0,62; –0,69; +0,71; –0,73; –0,76; –0,95; –1,03; +1,04; +1,16; –1,23; –1,27; –1,28; +1,29; +1,31; –1,38; +1,52; –1,88; +1,92; +2,28; –2,50.

Находим:

;

; .

4. Построение статистического группированного ряда.

Распределим невязки (табл. 1.2) в двенадцати интервалах (длину интервала примем равной половине средней квадратической ошибки, т.е. ).

Таблица 1.2
№ п/п	длины интервалов в долях m		длины интервалов в секундах		число ошибок mi	частоты	высоты прямо-угольников
1	–3,0m	–2,5m	–3,30″	–2,75″	0	0,000	0,000
2	–2,5m	–2,0m	–2,75	–2,20	1	0,031	0,056
3	–2,0m	–1,5m	–2,20	–1,65	1	0,031	0,056
4	–1,5m	–1,0m	–1,65	–1,10	4	0,125	0,227
5	–1,0m	–0,5m	–1,10	–0,55	6	0,188	0,342
6	–0,5m	+0	–0,55	–0	5	0,156	0,284
7	+0	+0,5m	–0	+0,55	7	0,219	0,398
8	+0,5m	+1,0m	+0,55	+1,10	2	0,062	0,113
9	+1,0m	+1,5m	+1,10	+1,65	4	0,125	0,227
10	+1,5m	+2,0m	+1,65	+2,20	1	0,031	0,056
11	+2,0m	+2,5m	+2,20	+2,75	1	0,031	0,056
12	+2,5m	+3,0m	+2,75	+3,30	0	0,000	0,000
∑					32	1,000	―
mi — число ошибок, попавших в i‑й интервал, подсчитывается непосредственно. Если значение ошибки совпадает с границей интервала, то эту ошибку следует поместить в тот интервал, в котором теоретически ожидается большее число ошибок (см. рис 1.1)

5. Построение гистограммы и выравнивающей её кривой распределения.

По данным таблицы 1.2 (столбцы 2 и 6) строим гистограмму (рис. 1.1) — график эмпирического распределения (на выбор масштаба изображения наложим лишь условие наглядности).

Рис. 1.1 — Гистограмма и выравнивающая кривая 

Вид гистограммы позволяет действительно предположить нормальный закон распределения ошибок _i. Теоретическая кривая, наилучшим образом выравнивающая (сглаживающая) гистограмму, определяется уравнением

,

где ; ; ; ; .

Вычисление ординат кривой  выполняем, используя таблицу Приложения A. Результаты вычислений поместим в таблице 1.3.

Таблица 1.3
№ п/п	левые границы интервалов i		yi
1	0	0	0,564	0,645	0,364
2	0,5m	0,5	0,498	―"―	0,321
3	1,0m	1,0	0,342	―"―	0,220
4	1,5m	1,5	0,183	―"―	0,118
5	2,0m	2,0	0,076	―"―	0,049
6	2,5m	2,5	0,025	―"―	0,016
7	3,0m	3,0	0,006	―"―	0,004

По данным таблицы 1.3 (столбцы 2 и 6) на графике рис. 1.1 наносим ряд точек , которые соединяем плавной кривой. Левую ветвь кривой строим по тем же ординатам.

Как видно из графика, кривая () удовлетворительно сглаживает гистограмму.

6. Применение критерия ²‑Пирсона.

Для оценки степени приближения статистического распределения (гистограммы) к теоретическому нормальному закону (кривой распределения) вычисляем величину

,

где

.

Результаты вычислений поместим в таблице 1.4.

находят по таблице Приложения B для левых границ интервалов t_i.

Таблица 1.4
№	Интервалы ti			pi	mi	npi
1	–3,0	–2,5	–0,5	0,0062	0	0,20	0,20
2	–2,5	–2,0	–0,4938	0,0166	1	0,53	0,42
3	–2,0	–1,5	–0,4772	0,0440	1	1,41	0,12
4	–1,5	–1,0	–0,4332	0,0918	4	2,94	0,38
5	–1,0	–0,5	–0,3414	0,1500	6	4,80	0,30
6	–0,5	+0	–0,1914	0,1914	5	6,12	0,20
7	+0	+0,5	+0	0,1914	7	6,12	0,13
8	+0,5	+1,0	+0,1914	0,1500	2	4,80	1,63
9	+1,0	+1,5	+0,3414	0,0918	4	2,94	0,38
10	+1,5	+2,0	+0,4332	0,0440	1	1,41	0,12
11	+2,0	+2,5	+0,4772	0,0166	1	0,53	0,42
12	+2,5	+3,0	+0,4938	0,0062	0	0,20	0,20
13	+3,0	+∞	+0,5	―	―	―	―
				1,0000	32	32,00	4,50

Число степеней свободы определяется формулой . Находим (k — число интервалов, , так как только один параметр  оценивался по выборке, а  принято равным нулю).

По таблице Приложения E по числу степеней свободы  для находим вероятность , а для  находим . Интерполируя, для  получим .

7. Вычисление оценок скошенности  и эксцесса  и проверка соотношений [1, стр.81]:

; ,

которые являются критериями нормального закона.

Находим:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

Как видно из вычислений, соотношения  выполняются.

В результате исследования приходим к выводу о том, что рассматриваемый ряд истинных ошибок является действительно рядом случайных ошибок, подчиняющихся приближенно нормальному закону, так как:

1. выполняются свойства случайных ошибок:

1. среднее арифметическое  практически равно нулю,

2. положительные и отрицательные ошибки, равные по абсолютной величине (см. гистограмму), примерно одинаково часто встречаются в данном ряде,

3. малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие,

4. случайные ошибки  с заданной вероятностью  не превосходят определенного предела, равного , ни одна из ошибок ряда не превышает предельной ошибки, равной

;

2. коэффициенты  и  совпадают с их теоретическими значениями (; );

3. вероятность  велика, так как значительно больше критического уровня значимости, равного 0,1 [1,стр.79];

4. величины скошенности и эксцесса незначительно отличаются от нуля.