Правила дифференцирования

Пользуясь формулой выведем несколько важных формул, касающихся дифференциалов.

1.

Действительно

2.

Имеем

3.

Имеем

4.

Имеем

.

5.

Имеем

В качестве приложения понятия дифференциала выведем формулу для производной от функций заданных параметрически.

Параметрическое задание функции заключается в том, что и и задаются как функции некоторого параметра , т.е.

,

Значение параметра определяет одновременно и и , и, тем самым, некоторую точку на плоскости. Меняя мы двигаем точку на плоскости и она описывает некоторую кривую, определяющую зависимость от . Параметрическое задание функции считается самым общим способом задания кривых на плоскости.

Имеем

Отсюда производная от по имеет вид

Сокращая на получим окончательно

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть имеется функция, от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной т.е. называется второй производной и обозначается :

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной

.

Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки - , и т.д.

Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n-1)-го порядка

Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:

1.

2.

3.

Первые две формулы очевидны. Третью формулу, носящую название формулы Лейбница, мы доказывать не будем. При ее применении следует только иметь ввиду, что производной нулевого порядка считается сама функция, т.е. .

Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, т.е.

Выведем формулу для . Имеем

При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, чтоdx, совпадающее с приращением аргументаdx, есть величина, совершенно не зависимая от , т.к. мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к x dx

.

Скобки у обычно не пишут

Отсюда

Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала

Имеем

так что

;

В общем случае

Легко показывается по индукции, что

; .

Формула Тейлора в общем случае. Свойства остаточного члена.

Пусть теперь имеется некоторая произвольная функция , у которой в точке существуют , , , , . Для нее тоже можно написать комбинацию

=

но теперь, очевидно, уже нельзя утверждать, что , ведь - не полином. Введем, поэтому, функцию и будем писать

=.

Функцию будем называть остаточным членом, а саму формулу - формулой Тейлора для функции . Самая главная задача теперь - сказать что-то о свойствах , а еще лучше - как-то оценить его. Тогда можно будет использовать для приближенного вычисления функции .

Напишем в явном виде

=

Полагая , получим

Далее, находя производные и полагая , получим

=

=

=

.

Таким образом, остаточный член в формуле Тейлора обладает следующим основным свойством