Алгебра производных

Выведем важнейшие формулы, касающиеся вычисления производных. В дальнейшем и - некоторые функции, у которых существуют и , а C - некоторая константа (число).

1.

Доказательство

2.

Доказательство

Аналогично выводится формула для .

3.

Доказательство

В числителе дроби прибавим и вычтем комбинацию

4.

Доказательство

прибавляем и вычитаем в числителе комбинацию

5.

В выражении подразумевается, что производная от функции берется так, как будто является единым целым (аргументом).

Доказательство

Пусть аргумент получил приращение . Тогда функция > получила приращение так что . Поэтому

делим и умножаем дробь на

6.

Доказательство

Пусть так что . Если аргументу x дать приращение то величина получит приращение . Поэтому

Однако в данной формуле есть одна неувязка. Слева стоит функция от , а справа получилась функция от . Чтобы устранить это несоответствие надо в правой части заменить на . Тогда получим окончательно

.

7.

Вывод этой формулы следует разбирать после прочтения следующего параграфа.

Доказательство

Обозначим . Тогда . Вычисляя производную от обеих частей этого равенства, получим

Отсюда

Вместо того чтобы запоминать эту формулу лучше запомнить правило: для того чтобы вычислить производную от , надо это выражение сначала прологарифмировать.

Все эти формулы сведены в следующую таблицу, которую следует запомнить (кроме последней формулы).

Функция	Производная

Таблица производных

Выведем теперь таблицу производных от элементарных функций

1.

Действительно, если , то

2.

Имеем

вынесем вверху за скобки

Сделаем “замену переменных” . Тогда и

Так как мы получили один из замечательных пределов. Рекомендуется запомнить некоторые частные случаи этой функции этой формулы

а)

б)

3.

Имеем

так как мы снова имеем один из замечательных пределов.

Особенно простой результат получается при

4.

сделаем “замену переменных” . Тогда и

Особенно простой результат получается при

5.

Имеем

где так же использован замечательный предел.

6.

7.

Так как , то

8.

Вывод аналогичен

9.

В данном случае и , т.е. . Поэтому

10.

Вывод аналогичен

11.

В данном случае и, т.е. . Поэтому

12.

Вывод аналогичен

13.

Действительно

14. 15.

Вывод аналогичен

Все эти формулы сведены в таблицу, которую следует заучить

Таблица 2

функция	производная
1.
2 .
3.
4.
5.



функция		производная
6.
7. arccos x


8.

9.