22. Складність теоретико-числових алгоритмів

Сложность алгоритмов теории чисел обычно принято измерять количеством арифметических операций (сложений, вычитаний, умножений и делений с остатком), необходимых для выполнения всех действий, предписанных алгоритмом. Впрочем, это определение не учитывает величины чисел, участвующих в вычислениях. Ясно, что перемножить два стозначных числа значительно сложнее, чем два однозначных, хотя при этом и в том, и в другом случае выполняется лишь одна арифметическая операция. Поэтому иногда учитывают еще и величину чисел, сводя дело к так называемым битовым операциям, т.е. оценивая количество необходимых операций с цифрами 0 и 1, в двоичной записи чисел. Это зависит от рассматриваемой задачи, от целей автора и т.д.

На первый взгляд странным также кажется, что операции умножения и деления приравниваются по сложности к операциям сложения и вычитания. Житейский опыт подсказывает, что умножать числа значительно сложнее, чем складывать их. В действительности же, вычисления можно организовать так, что на умножение или деление больших чисел понадобится не намного больше битовых операций, чем на сложение. В книге [7] описывается алгоритм Шенхаге - Штрассена, основанный на так называемом быстром преобразовании Фурье, и требующий битовых операций для умножения двух -разрядных двоичных чисел. Таким же количеством битовых операций можно обойтись при выполнении деления с остатком двух двоичных чисел, записываемых не более, чем цифрами. Для сравнения отметим, что сложение -разрядных двоичных чисел требует битовых операций.

Говоря в этой главе о сложности алгоритмов, мы будем иметь в виду количество арифметических операций. При построении эффективных алгоритмов и обсуждении верхних оценок сложности обычно хватает интуитивных понятий той области математики, которой принадлежит алгоритм. Формализация же этих понятий требуется лишь тогда, когда речь идет об отсутствии алгоритма или доказательстве нижних оценок сложности. Более детальное и формальное обсуждение этих вопросов см. в главе 2.

Приведем теперь примеры достаточно быстрых алгоритмов с оценками их сложности. Здесь и в дальнейшем мы не будем придерживаться формального описания алгоритмов, стараясь в первую очередь объяснить смысл выполняемых действий.

Следующий алгоритм вычисляет за арифметических операций. При этом, конечно, предполагается, что натуральные числа и не превосходят по величине .

23. Алгоритм Эвклида

Алгори́тм Евкли́да — алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Пример

Для иллюстрации, алгоритм Евклида будет использован, чтобы найти НОД a = 1071 и b = 462. Для начала, от 1071 отнимем кратное значение 462, пока не получим знаменатель меньше чем 462. Мы должны дважды отнять 462, (q0 = 2), оставаясь с остатком 147

1071 = 2 × 462 + 147.

Затем от 462 отнимем кратное значение 147, пока не получим знаменатель меньше чем 147. Мы должны трижды отнять 147 (q1 = 3), оставаясь с остатком 21.

462 = 3 × 147 + 21.

Затем от 147 отнимем кратное значение 21, пока не получим знаменатель меньше чем 21. Мы должны семь раз отнять 21 (q2 = 7), оставаясь без остатка.

147 = 7 × 21 + 0.

Таким образом последовательность a>b>R1>R2>R3>R4>...>Rn в данном конкретном случае будет выглядеть так:

1071>462>147>21

Так как последний остаток равен нулю, алгоритм заканчивается числом 21 и НОД(1071, 462)=21.

В табличной форме, шаги были следующиеШаг k Равенство Частное и остаток

0 1071 = q0 462 + r0 q0 = 2 и r0 = 147

1 462 = q1 147 + r1 q1 = 3 и r1 = 21

2 147 = q2 21 + r2 q2 = 7 и r2 = 0; алгоритм заканчивается