Лекція 19 Властивості лазерних пучків

Основними властивостями лазерних пучків є: направленність, висока яскравість, більша ніж сонця, монохроматичність, когерентність (просторова і часова). У цьому розумінні лазер є унікальне джерело світла, аналога якому, мабуть, в природі немає. Крім цього лазер можна вважати точковим джерелом, оскільки пучок лазера можна сфокусувати лінзою у світлову пляму перерізом, що співмірний з довжиною хвилі.

19.1.Монохроматичність.

У випадку, коли лазер генерує в одномодовому режимі і коли до того ж вихідне випромінювання не міняється в часі, теоретична границя монохроматичності визначається виразом (14.29):

(19.1)

де – частота моди, що генеруєтьсяю Якщо МГц (типове значення для лазерів), Дж (червона область спектру) отримаємо, що Гц. Така зміна частоти вимагає точності дотримання довжини резонатора Звідси випливає, на практиці монохроматичність визначається зміною довжинини резонатора Очевидно, що забезпечити таку стабільність довжини резонатора неможливо, амлітуда коливань атомів в твердому тілі, мабуть, більша за вище приведене значення При спеціальних умовах стабілізації і на протязі декілька секунд була виміряна відносна стабільність частоти, яка рівна . В імпульсному режимі роботи лазера мінімальна ширина лінії, очевидно, обмежується величиною, яка обернена тривалості імпульсу . Наприклад, якщо с, то ми отримаємо МГц. У випадку лазера, що працює в багатомодовому режимі, монохроматичність звязана з числом генеруючих мод. Для твердотільного лазера (рубінового, неодимового, напівпровідникового), в якому віжко отримати одномодову генерацію (оскільки велике), ширина лінії випромінювання стає часто порядку гігагерци.

19.2.Когерентність.

Вперше експериментальну установку для спостереження інтерференції світла була здійснена Томасом Юнгом на початку 19 століття. Схематично ця установка наведена на рис.19.1.

Рис. 19.1. Схема досліду Юнга по спостереженню інтерференції світлових хвиль: А – непрозорий екран з вузькою щілиною S, В – непрозорий екран з вузькими щілинами S₁ і S₂, С – екран, на якому спостерігають інтерференцію.

Щілину S можна вважати точковим джерелом світла. Нехай маємо монохроматичне джерело світла S. S₁ і S₂ — вторинні монохроматичні джерела світла. На екрані С в деякій точці амплітуда хвилі рівна :

(19.2)

Відповідно інтенсивність хвилі в цій точці рівна:

(19.2)

Положення максимумів – ціле число. Легко доказати з геометрії побудови рис. 19.1, що Отже

Нехай маємо дві монохроматичні хвилі, які випромінюються первинним джерелом, однакової амплітуди, відповідно, з хвильовими векторами і Тоді інтенсивністі світла, що відповідають двом хвильовим векторам відповідно рівні:

(19.3)

Тоді сумарна інтенсивність двох інтерференційних картин буде рівна:

Нехай Тоді:

(19.4)

де – середнє значення хвильового числа, – різниця хвильових чисел спектральних ліній.

На рис. 19.2 наведено зразки інтерференційних картин при рівності та при

Рис. 2 Інтерференційна картина при частково когерентному джерелі світла.

а - інтерференційні смуги, б - видність смуг коли випромінюються дві близькі спектральні лінії однакової інтенсивності, в - коли в два рази відрізняються по інтенсивності.

Віддаль між смугами визначається cos(k). Другий множник визначає повільну зміну в інтерференційній картині, оскільки k << k. Функцію видності, або контраст ввів Майкельсонзгідно співідношення:

V = , отже 0  V  1

V =1 коли I_min = 0, V = 0 коли I_min = I_max

I_max = 4I₀[1 + cos(k/2)]

I_min = 4I₀[1 - cos(k/2)]

V() = cos(k/2), V() = 1 при  = 0, V() = 0 при k/2 = 

або при умові  = k,  =

l_k = 2 - довжина когерентності випромінювання. _к = l_k/c - час когерентності.

l_k = ², _k  ²c

Кількісна теорія когерентних властивостей випромінювання , тобто його здатності до інтерференції, в рамках спектральних представлень була вже розглянена. Теорія, в якій використовується часовий опис випромінювання, базується на математичній теорії випадкових функцій. Коливання напруженості електричного поля у світловій хвилі , який представляє собою накладення хвильових цугів , можна записати у вигляді :

(3.1)

де  - деяка середня частота, а Е₀( t ) =( t ) exp[i ( t )] - залежна від часу комплексна амплітуда. У випадку квазімонохроматичного випромінювання , частотний спетр якого зосереджений у вузькому інтервалі  поблизу середньої частоти  , тобто коли  <<  , амплітуда ( t ), фаза  t ) у ( 3.1 ) представляють собою випадкові функції , які змінюються повільно в порівнянні з функцією ехр( -і t ). Іншими словами , можна рахувати, що ( 3.1 ) описує хаотичну модуляцію амплітуди і фази коливання з частотою . Однак, потрібно відмітити, що хоча зміни ( t ) і  t ) проходить повільно у масштабі коливань, вони проходять дуже швидко у масштабі часу необхідного для спостереження. Інтенсивність, яка вимірюється на досліді пропорційна середньому за час спостереження значеню квадрату модуля амплітуди ( t ) :

 (3.2)

Хаотичні зміни згладжуються приусередненні за час спостереження. У випадку стаціонарних оптичних полів інтенсивність в ( 3.2 ) не залежить від часу ( точніше від положення інтервалу усереднення на шкалі часу).

В інтерференційних експериментах пучок квазімонохроматичного світла розщеплюється на два, які потім знову зустрічаються в деякі точці спостереження Р. Для простоти будемо вважати, що інтенсивність цих двох пучків однакова. Оскільки оптичні шляхи пучків від місця розділення до точки Р відрізняються на , коливання в одному із них проходить з запізненням на час  = /с. Тому результуюче коливання в точці Р описується функцією:

.

У відповідності з ( 3.2 ) інтенсивність цього коливання

І~

( 3.3 )

Перші два доданки в (3.3 ) однакові і пропорціональні інтенсивностям І₀ інтерферуючих пучків. Вираз називають в теорії випадкових функцій автокориляційною функцією для комплексної амплітуди Е₀(t). Нормовану автокореляційну функцію називають комплексною степенею часової когеренності коливань і позначають  :

 = (3.4 )

Ця функція характерезує кореляцію світлових коливань в моменти часу , розділені інтервалом . Використовуючи визначення  (3.4 ) , із (3.3 ) отримуємо вираз для інтенсивності в точці спостереження :

І = 2 І₀ [ 1 + Re  e^{-i  }]. ( 3.5 )

Якщо комплексну функцію  представити як  = , то останню формулу можна представити як :

. ( 3.6 )

Цей вираз відмінний від формули для інтенсивності при інтерференції монохроматичних хвиль наявністю множника в інтерференційному члені і ще одним доданком  в аргументі косинуса. Множник сos (k) в інтерференційному члені описує швидкі осциляції інтенсивності у просторі при переході від однієї смуги до другої. Зміни плавної функції при переході від одної смуги до сусідньої незначні, тобто вони мають одне і теж значення для цілої області інтерференційного поля, яке містить багато смуг.

Коли =1, інтерференція квазімонохроматичного світла з амплітудою та фазою, які хаотично змінюється здійснюється так як і у випадку регулярних строго монохроматичних хвиль. При  (  ) =0 проходить просте складення інтенсивностей пучків : І = 2 І₀. В цьому випадку інтерференції немає і коливання називаються некогерентними. Якщо 0<< 1, то говорять про часткову когерентність інтерферуючих пучків. Можна представити собі частково когерентне світло як таке, що складається із повністю когерентної та некогерентної частин, причому доля когерентного світла в цій суміші рівна . Формулу (3.6 ) можна записати у вигляді :

Тут перший доданок описує інтерференцію повністю когерентних хвиль з рівними інтенсивностями , а другий - накладення некогерентних хвиль з інтенсивностями Цим пояснюється чому величина названа степенею когерентності.

Експериментальне визначення функції для досліджуваного випромінювання може бути основане на вимірюванні видності V() інтерференційних смуг в залежності від різниці ходу . Так як зміна дуже повільна у ( 3.6 ) максимум інтенсивності відповідає значенням cos (k) =1 , а мінімум - значенням cos (k) = -1. Тому

Таким чином, видність інтерференційних смуг ( при різних інтенсивностях інтерферуючих пучків )

( 3.7 )

тобто рівна модулю комплексної степені когерентності. Криві видності V() , приклади яких дані на рис. 3 , можна розглядати і як графіки функції для відповідних випромінювань, замінивши  на с.

Рис.3 Криві видності, які відповідають різним спектральним розподілам інтенсивності джерела світла.

Значно трудніше визначити на досліді аргумент () . Для цього треба , як видно із (3.6), при кожному значенні різниці ходу  порівняти спостерігане положення смуг від досліджуваного джерела світла і положення смуг від монохроматичного джерела з частотою , яке визначається формулою для інтенсивності при інтерференції монохроматичних хвиль. Таким способом в принципі можна експериментально повністю визначити комплексну спетень часової когеренності, яка характеризує досліджуване випромінювання.

Риса, яка притягає у теорії часткової когерентності полягає у тому, що вона оперує величинами, які в принципі можна визничити з експерименту (кореляційні функції та інтенсивність). В цьому вона суттєво відмінна від елементарної оптичної хвильової теорії, де основну величину , тобто Е ( t ) , із-за великої частоти оптичних коливань неможливо виміряти реальними інтерференційними приймачами випромінювання.

Комплексну ступінь когерентності () можна знайти , використавши ту чи іншу статистичну модель розглядуваного випромінювання. Наприклад, у найпростішому випадку, коли квазімонохроматичне випромінювання представляеться у вигляді хаотичного накладення одинакових хвильових цугів тривалістю ₀, прямий розрахунок на основі визначення () ( 3.4 )

дає :

( 3.8 )

Ступінь когернтності лінійно спадає від 1 до 0 із збільшенням  від 0 до ₀. Формула ( 3.8 ) відображає фізично очевидний факт : коливання в момент часу t і t+ когерентні, якщо проміжок часу  меньше тривалості ₀ окремого цугу. Іншими словами , в такій моделі випромінювання тривалість ₀ цугу співпадає з часом когерентності коливаня.

Знайдемо зв’язок комплексної ступені когерентності () із спектральним розподілом інтенсивності випромінювання І ( ) . Для цього використаємо розклад квазімонохроматичного коливання Е ( t )= Е ₀( t ) е^-it ( 3.8 ) в інтеграл Фур’є :

( 3.9 )

Виражаючи у визначенні () комплексну амплітуду E₀ ( t ) через E ( t ) з допомогою (3.1), при водимо кореляційну функцію для амплітуд до вигляду

При усередненні по часу спостереження , більшому в порівнянні з характерним часовим масштабом вимірювання E ₀ ( t ), межі інтегрування по t можна поширити до  . Потім замість

E^* ( t- ) представимо його розклад в інтеграл Фур’є згідно з ( 3.9 ) та змінюємо порядок інтегрування по t та :

Інтеграл, який стоїть у дужках, згідно другої із формул (3.9) є фур’є-компонента

функції E ( t ). Тому

( 3.10 )

Знаменник у визначені () ( 3.4) отримуємо із ( 3.10 ) при =0 . Тому

( 3.11 )

Розуміючи під І() нормована на одиницю функцію спектрального розподілу інтенсивності

для отримуємо остаточний вираз :

= ( 3.12 )

Проілюструємо застосування формули ( 3.12 ) на простих прикладах. Нехай випромінювання рівномірно заповнює вузький спектральний інтервал  з середньою частотою  (прямокутний спектральний контур ). Тоді рівне 1/ в межах цього інтервалу ( -  / 2,  +  / 2) і нулю - за ним. При обчисленні інтегралу в ( 3.12 ) вигідно перейти до змінної :

( 3.13 )

Рис.4 Степінь когерентності , що відповідає різним спектральним розподілам інтенсивності випрмінювання.

Графік цієї функції поданий на рис.4а. Модуль () , рівний у відповідності з (3.7) видності інтерференційних смуг, показаний заштрихованою лінією. Порівняйте цей графік з віповідною кривою видності на рис. 3а.

Для випромінювання з гаусівським спектральним контуром (доплерівське розширення) нормована функція розподілу інтенсивності має вигляд Перейдемо у (3.12) до змінної . Так як

швидко спадає при віддалені від , то межі інтегрування по х можна поширити до   :

( 3.14 )

Графік  (  ) також представляє собою гаусову криву. ( рис.4б). Ступінь когерентності монотонно спадає із збільшенням проміжку часу . Порівняйте графік  ( ) з відповідною кривою видності на рис. 3б.

У випадку спектральної лінії з лоренцевим контуром півшириною =2Г степінь когерентності  () = ехр (-Г ). Її графік приведений на рис. 4в. У всіх випадках час когернтності _ког пов’язане з шириною спектру випромінювання співвідношенням _ког    2.

Інтегральне співвідношеня ( 3.12 ) , яке виражає  (  ) через І ( ) , можна обернути, щоб по відомій степені когерентності розрахувати спектральний розподіл інтенсивності І () досліджуваного випромінювання.

При дослідженні видності смуг в дослідах з протяжним джерелом можна розглядати накладення інтерференційних картин , які були створені окремими його елементами. Але можлива і інша постановка задачі, яка основана на поняті просторової когернтності коливань в пучку світла від протяжного джерела. Для визначеності звернемося до схеми досліду Юнга (див.мал.1). Будемо рахувати, що перший екран А з отвором S відсутній, а пучок світла від монохроматичного джерела падає безпосередньо на екран В з точковими отворами S₁ і S₂. Ці отвори можна прийняти за вторинні джерела, які посилають світлові хвилі на екран С, де спостерігається інтерференційна картина.

Коли первинне джерело точкове, світлові коливання в отворах S₁ і S₂ когерентні і видність смуг на екрані С максимальна: V=1. У випадку протяжного джерела видність смуг менша одиниці. При заданій відстані d між отворами S₁ і S₂ вона залежить від відношення поперечного розміру джерела D_ до віддалі L між джерелом та екраном В, тобто від кутового розміру джерела  = D_ / L. Якщо   /(2d), то можна показати, що видність V  2/3 , тобто смуги видно чітко. Із збільшенням  видність зменшується , і при  = /d смуги пропадають зовсім. Зменшення видності смуг можна пояснити частковою когерентністю світлових коливань в точках S₁ і S₂ , які збуджуються протяжним джерелом. Для кількісної характеристики цієї когерентності коливань в різних точках попечного перерізу світлового пучка вводиться поняття степені просторової когерентності ₁₂. Вона характерезує здатність світлових коливань в просторово віддалених точках S₁ і S₂ , які взяті в деякому поперечному перерезі пучка , до створення стаціонарної інтерференційної картини, якщо світло із точок S₁ і S₂ буде яким небудь способом зведене в одну точку ( в досліді Юнга це проходить в результаті дифракції на отворах в екрані В, які співпадають з точками S₁ і S₂.

В пучку світла від точкового джерела коливання в S₁ і S₂ повністю когерентні, тому ₁₂ =1 і видність смуг при інтерференції хвиль із S₁ і S₂ максимальна. В пучку світла від протяжного джерела степень просторової когерентності ₁₂ залежить від віддалі d між точками S₁ і S₂ та від кутових розмірів джерела  = D_ / L. При   d  степень когерентності обертається в нуль : коливання в S₁ і S₂ некогерентні, і при накладені хвиль із S₁ і S₂ спостерігається просто додавання інтенсивностей, тобто інтерференція відсутня.

Світлові коливання в якій-небудь точці, наприклад у точці S₁, в пучку світла від протяжного джерела виникає у результаті додавання коливань у хвилях, які проходять в цю точку від різних елементарних випромінювачів (атомів), що містяться у джерелі. Амплітуда і фаза результуючого коливання в S₁ являє собою випадкові функції часу :

E ₁( t ) = E ₁₀ ( t ) e^-it = ₁ ( t ) e^{-i [t - }₁^{( t )]}.

Зміна і , а отже і комплексної амплітуди Е₁₀ ( t ) проходить провільно в масштабі періоду світлових коливань 2/, але дуже швидко в масштабі часу, який необхідний для спостереження. Якщо переміститися із точки S₁ в другу (близьку) точку S₂, то фази коливань, які додаються від окремих атомів, трохи зміняться із-за того, що віддалі від них до S₂ будуть іншими. При малій віддалі між S₁ та S₂, поки довжини оптичних шляхів від окремих елементів джерела S₁ та S₂ відрізняються на величину малу в порівнянні з довжиною хвилі , випадкові зміни амплітуди та фази результуючих коливань в S₁ і S₂ проходять узгоджено. Із збільшенням віддалі між S₁ і S₂ ця кореляція послаблюється і пропадає зовсім, коли оптичні довжини до S₁ і S₂ відрізняються більше ніж на .

Нехай оптичні шляхи від S₁ і S₂ до точки спостереження Р відрізняються на , тобто коливання із S₂ проходить в точці Р із запізненням на час /с. Тоді результуюче коливання в точці Р описується функцією :

і його інтенсивність пропорціональна виразу . ( 3.15 )

Перші два доданки тут пропорціональні інтенсивностям хвиль із S₁ і S₂. Ці інтенсивності ми будемо рахувати одинаковими. Вираз представляє собою кореляційну функцію для комплексних амплітуд E₁₀(t) і E₂₀ (t). В стаціонарному випадку вона залежить від , але так само як і середні інтенсивності, не залежить від часу. Кореляційну функцію, поділену на інтенсивність однієї хвилі І₀, тобто нормовану кореляційну функцію

( 3.16 )

називають комплексною степенею когерентності коливань в точках S₁ і S₂. Враховуючи це визначення , перепишемо ( 3.15 ) у виді :

І = 2 І₀ [ 1 + Re₁₂( ) e^-i] = 2 I₀ [1 +  ₁₂( ) cos ( + ₁₂)]. ( 3.17 )

У випадку, коли точки S₁ і S₂ співпадають, ₁₁ () характерезує кореляцію між коливаннями в одній точці в різні моменти часу t і t- і представляє собою комплексну степень часової когерентності : ₁₁ (  ) =  (  ). Для світла від квазімонохроматичного джерела вона описує залежність видності смуг від різниці ходу  = с двох інтерферуючих хвиль, які збуджуються коливанням в точці S₁ .

У випадку неспівпадаючих точок S₁ і S₂, але при  = 0 , величина ₁₂ ( 0 ) характерезує кореляцію коливань в різних просторових точках в один момент часу. Це степень просторової когерентності світлових коливань в точках S₁ і S₂. Її модуль згідно останньої формули рівний видності інтерферннційних смуг в тому місці, куди коливання із S₁ і S₂ приходять з різницею ходу   0 (тобто смуг низького порядку). Коли ₁₂(0) = 1, говорять про повну просторову когерентність , коли 0 < ₁₂ ( 0 ) < 1 - про часткову когерентність коливань в точках S₁ і S₂ . Світло від протяжного джерела , яке збуджує коливання в отворах S₁ і S₂ , можна розглядати як суміш когернтного та некогерентного, причому модуль степені просторової когерентності ₁₂ ( 0 ), як видно із ( 3. 17 ), визначає долю повністю когерентного світла в цій суміші.