Приклади деяких елементарних функцій комплексної змінної та їх властивості

1. Лінійна функція

Функція вигляду , де , – комплексні сталі, називається лінійною функцією.

Лінійна функція визначена на всій комплексній площині, однозначна і неперервна. Обернена їй функція також лінійна і однозначна. Похідна . Отже, лінійна функція аналітична, однолиста і здійснює конформне відображення на всій площині.

Щоб здійснити відображення множини лінійною функцією потрібно:

1. розтягнути її в разів;

2. 2) повернути на кут ;

3. 3) змістити її вздовж вектора .

Приклад 1. Знайти образ множини при відображенні .

Розв’язування. Оскільки , то розтягуємо в два рази; , то повертаємо на ; переносимо на .

Відповідь: образом є .

Лінійне відображення має кругову властивість: пряма переходить в пряму, а коло – в коло.

Теорема: Лінійна функція відображає кожну множину в подібну собі, і навпаки., дві подібні множини можна відобразити одна в одну з допомогою лінійної функції.

2. Дробово-лінійні функції

Дробово-лінійною функцією називається функція вигляду , де

Оскільки,

,

то дане відображення визначене, однолисте та конформне на всій площині, окрім точки .

Теорема (про кругову властивість): Дробово-лінійна функція відображає коло в коло, круг в круг.

Зауваження. Пряму на площині вважають колом, яке проходить через нескінченно віддалену точку .

Доведення теореми.

Дробово-лінійна функція є суперпозицією лінійних функцій і функції . Для лінійних функцій дана властивість виконується. Доведемо, що це справедливо і для .

Нехай , . Тоді

– формули переходу.

Оскільки, рівняння кола має вигляд , то підставивши, отримаємо:

,

а це знову рівняння кола. Для круга все аналогічно, тільки замість «=» знак «».

Зауваження. Якщо коло (в тому числі і пряма) проходить через початок координат, то при відображенні воно перейде в коло, що проходить через , тобто в пряму.

Приклад 2. Знайти образ круга при відображенні

Розв’язування. Маємо Тобто образом буде множина .

Приклад 3. Знайти образ круга при відображенні

Розв’язування. Маємо .

При відображенні множина перейде в множину ; при відображенні маємо

тобто ; при маємо і при матимемо, що

Теорема. Нехай в площині задані три різні точки , а в площині відповідно . Тоді існує єдина дробово-лінійна функція , що

Доведення. Якщо всі точки скінченні, то функцію знаходимо зі співвідношення

.

Якщо ж одне з чисел , то опускаємо вирази в чисельнику і в знаменнику з цим числом.

Приклад 4. Знайти дробово-лінійну функцію таку, щоб .

Розв’язування. Маємо .

3. Степенева функція.

Степенева функція з натуральним показником має вигляд , де .

Степенева функція визначена на всій комплексній площині, однозначна, неперервна. Похідна всюди неперервна. Отже, степенева функція аналітична на всій комплексній площині і здійснює конформне відображення всюди, крім

В кожному куті розхилом не більше функція є однолистою. Кут відображається в -площину з розрізом по від’ємній дійсній півосі (рис.1).

Я кщо подати числа в показниковій формі, отримаємо

– формули переходу.

Приклад 1. Знайти образ множини при відображенні .

Розв’язування. В нашому випадку формули переходу мають вигляд .

Оскільки , то

Отже, образом є множина

Коренева функція має вигляд , де – нескоротний правильний дріб: , .

Коренева функція (радикал) визначена на всій комплексній площині і багатозначна. Похідна всюди визначена і неперервна, крім . Тому ця функція аналітична на всій площині за винятком точки . Оскільки функція -значна, то для визначення єдиного образу при цьому відображенні необхідні додаткові умови. Функція стає однолистою на всій площині, якщо вважати значення функції додатним дійсним для додатного дійсного аргументу. Тоді -площина з розрізом по від’ємній дійсній півосі відображається на сектор .

Лекція 7.