- •Комплексні числа та дії над ними
- •1. Поняття комплексного числа
- •2. Дії над комплексними числами
- •3. Геометрична інтерпретація. Модуль і аргумент комплексного числа
- •4. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа.
- •5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.
- •6. Многочлени. Розкладання на множники. Розв’язання квадратних рівнянь
- •7. Нескінченно віддалена точка. Розширена комплексна площина
- •8. Відстань між точками. Окіл точки.
- •9. Область та її межа
- •Комплексні функції дійсної змінної.
- •1.Лінії на комплексній площині.
- •2. Диференціювання та інтегрування комплексної функції дійсної змінної.
- •Поняття функції комплексної змінної. Похідна.
- •1. Границя та неперервність
- •2. Похідна. Умови Коші – Рімана.
- •3. Поняття аналітичної функції. Зв’язок аналітичних функцій з гармонічними.
- •4. Геометричний зміст модуля й аргументу похідної. Поняття про конформне відображення.
- •Приклади деяких елементарних функцій комплексної змінної та їх властивості
- •1. Лінійна функція
- •2. Дробово-лінійні функції
- •3. Степенева функція.
- •4. Показникова функція.
- •5. Тригонометричні та гіперболічні функції.
- •Допоміжні формули Ейлера
- •6. Логарифмічна функція.
- •7. Обернені тригонометричні і обернені гіперболічні функції.
- •Інтеграл функції комплексної змінної
- •1. Поняття комплексного інтеграла.
- •2. Первісна функції комплексної змінної. Інтегральна теорема Коші.
- •3. Інтегральна формула Коші та її наслідки
- •Ряди функцій комплексної змінної
- •1. Основні поняття про ряди з комплексними членами.
- •2. Степеневі ряди. Ряд Тейлора.
- •3. Ряд Лорана.
- •Нулі та ізольовані особливі точки
- •Нулі аналітичних функцій.
- •Ізольовані особливі точки та їх класифікація.
- •Лишки та їх застосування.
- •1. Лишки
- •2.Основна теорема про лишки
- •3. Обчислення інтегралів типу .
- •4. Обчислення інтегралів типу .
- •Перетворення Лапласа
- •1. Оригінал
- •2. Зображення
- •3. Лінійність перетворення Лапласа.
- •4. Основні теореми.
- •5. Диференціювання та інтегрування оригіналів та зображень.
- •6. Згортка.
- •Знаходження оригіналу за його зображенням.
- •Застосування операційного числення
- •Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
- •Розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.
2. Диференціювання та інтегрування комплексної функції дійсної змінної.
Комплексній змінній відповідає вектор-функція, тому диференціювання та інтегрування комплексної функції дійсної змінної здійснюється аналогічно відповідним операціям над вектор-функцією дійсного аргументу.
Для знаходження похідної комплексної функції дійсної змінної треба продиференціювати окремо дійсну та уявну частини:
.
Зауваження 1. На комплексній площині дотична до кривої в точці задається в комплексно-параметричній формі рівнянням .
Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до комплексно-параметрично заданої лінії в точці , що відповідає указаному значенню параметра :
, .
Розв’язання. ;
;
;
– дотична.
Для знаходження інтеграла комплексної функції дійсної змінної треба проінтегрувати окремо дійсну та уявну частини:
.
Приклад 2. Знайти інтеграл:
.
Розв’язання. .
Лекція 4.
Поняття функції комплексної змінної. Похідна.
1. Границя та неперервність
Для геометричного тлумачення поняття функції комплексної змінної розглядаються два екземпляри площини комплексних чисел: -площина і -площина .
Нехай на -площині задана довільна множина точок . Якщо кожній точці множини за певним законом поставлено у відповідність одну точку (або декілька точок) -площини, то говорять, що на множині задано однозначну (або багатозначну) комплексну функцію комплексної змінної . називається множиною визначення функції , а множина усіх значень , що приймає функція, називається множиною значень функції .
Зауваження 1. Множина може бути дуже складної та різноманітної структури. Надалі розглядаються лише випадки, коли множини та є областями.
Комплексна функція – це відображення області -площини на область -площини (рис. 12). Якщо функція відображає точку площини в точку площини , то називається образом , а – прообразом.
Нерухомою точкою відображення називається така точка, що .
Приклад 1. Знайти нерухомі точки заданого відображення:
.
Розв’язання. Нерухомі точки визначаємо як корені рівняння :
; ; .
Відображення називається взаємно однозначним або однолистим в області , якщо довільним двом різним точкам області завжди відповідають дві різні точки області . У цьому випадку існує обернена функція – відображення області на область .
Зауваження 2. Відображення є однолистим тоді і тільки тоді, коли пряма і обернена функції однозначні.
Зауваження 3. Задання комплексної функції комплексної змінної , де – комплексний аргумент, – комплексна залежна змінна, рівносильне заданню упорядкованої пари дійсних функцій двох дійсних змінних і . Тому поняття границі та неперервності функції комплексної змінної вводяться так само, як і відповідні поняття для функції дійсних змінних. Це дозволяє перенести на комплексні функції основні теореми дійсного аналізу.
Приклад 2. Знайти образи заданих ліній при відображенні функцією :
а) пряма ; б) коло; в) промінь .
Розв’язання. ; ;
; ; .
а) пряма : ; ; ; ;
– парабола (образ прямої ).
б) коло : ; – коло (образ кола ).
в) промінь : – промінь (образ променя ).
Зауваження 4. Відображення , що однолисте і неперервне в замкненій області , переводить цю область в деяку замкнену область . При цьому межа області переходить в межу області зі збереженням напряму обходу (принцип збереження напряму обходу).