4. Тригонометрична і показникова форми комплексного числа.

Якщо на комплексній площині (рис. 1) ввести також полярну систему координат з полюсом у початку декартової системи координат і полярною віссю, суміщеною з віссю , то точку , що зображає комплексне число можна задати полярними координатами , при цьому полярний радіус , а кут нахилу

Використовуючи зв’язок декартових і полярних координат , , комплексне число можна подати у вигляді

.

Такий запис називається тригонометричною формою комплексного числа.

Якщо звернутись до основної формули Ейлера

,

(її доведення дається в теорії рядів), то від тригонометричної форми можна перейти до показникової форми комплексного числа .

Зауваження. З основної формули Ейлера випливають допоміжні формули Ейлера:

; ;

; .

Приклад 1. Зобразити на комплексній площині і подати в тригонометричній та показниковій формах наступні комплексні числа, що задані в алгебраїчній формі:

; ; ; ; .

Розв’язання. Побудуємо задані числа на комплексній площині (рис. 3):

Знайдемо модуль і головне значення аргументу кожного з даних чисел та запишемо їх у тригонометричній та показниковій формах:

1) : ; ;

;

;

.

2) : ; ; ;

; .

3) : ; ; ;

.

4) : ; ; ;

; .

5) : ; ; ;

; .

Лекція 2.

5. Дії над комплексними числами в тригонометричній і показниковій формах.

Якщо комплексні числа задані в тригонометричній формі, то їх добуток:

.

Якщо комплексні числа задані в показниковій формі, то:

Отже, добутком двох комплексних чисел і є комплексне число, модуль якого дорівнює добутку модулів, а аргумент – сумі аргументів співмножників, тобто

, .

Якщо комплексні числа задані в тригонометричній формі, причому , то частка:

.

Якщо комплексні числа задані в показниковій формі, то:

.

Отже, часткою двох комплексних чисел і , є комплексне число, модуль якого дорівнює частці модулів діленого і дільника , а аргумент – різниці аргументів діленого і дільника, тобто

, .

Натуральним степенем комплексного числа називається комплексне число, отримане множенням числа самого на себе раз, де – натуральне число.

Із правила множення комплексних чисел в тригонометричній формі випливає перша формула Муавра:

.

Приклад 1. Піднести до степеня: .

Розв’язання. Запишемо число в тригонометричній формі

.

За першою формулою Муавра

.

Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке комплексне число, -й степінь якого дорівнює :

Очевидно, що корінь -го степеня з нуля дорівнює нулю.

Якщо комплексне число відмінне від нуля , то корінь -го степеня має рівно різних значень, що визначаються за другою формулою Муавра:

,

де ; – арифметичне значення кореня з додатного числа.

На комплексній площині всі корені -го степеня з комплексного числа зображуються вершинами правильного -кутника, вписаного в коло з центром у початку координат і радіусом .

Приклад 2. Знайти всі значення кореня: а) ; б) .

Розв’язання. а) Запишемо підкореневе число в тригонометричній формі

.

За другою формулою Муавра

, де .

При : .

При : .

б) Запишемо підкореневе число в тригонометричній формі .

За другою формулою Муавра

,

, де .

При .

При .

При .