6. Згортка.

Oзначення. Згорткою двох функцій і називається функція , яка визначається рівністю

.

Операція згортання позначається так: .

Теорема 1. .

Доведення. .

Приклад. Знайти згортку функцій і .

Розв’язання. Маємо

Теорема 2 (про згортку). Якщо , , то

,

де .

У такому формулюванні цю теорему використовують для знаходження оригіналу за заданим зображенням.

Приклад 5. За зображенням знайти .

Розв’язання. Подамо це зображення у вигляді добутку двох множників, оригінали яких відомі:

,. Тоді,

Теорема 6. Якщо, і – оригінал, то

,

де , -показники росту оригіналів.

Цю формулу називають формулою Дюамеля.

Доведення.

Приклад. Знайти оригінал зображення .

Розв’язання. .

Отже, .

Лекція 16.

Знаходження оригіналу за його зображенням.

Для знаходження оригіналу за відомим зображенням можна використовувати формулу обернення Мелліна: якщо функція є оригіналом з показником росту , а – її зображенням, то в довільній точці , в якій функція неперервна

,

де інтегрування здійснюється вздовж довільної прямої .

На практиці для знаходження оригіналу використовуються наступні прийоми.

А. Розклад на прості дроби.

Якщо є дробово-раціональною функцією, причому степінь чисельника менший за степінь знаменника , то цей дріб розкладають на суму простих дробів і знаходять оригінали для кожного простого дробу безпосередньо за таблицею зображень оригіналів.

Приклад 1. Знайти оригінал функції .

Розв’язання. Функція є простим дробом. Розкладемо її на суму таких дробів, оригінали яких можна знайти за таблицею зображень оригіналів.

,

.

Остаточно, .

Приклад 2. Знайти оригінал функції .

Розв’язання. Розкладемо функцію на прості дроби:

.

Тоді, , звідки , , . Таким чином,

,

.

Остаточно, .

Б. Перша теорема про розклад.

Теорема 1. Якщо ряд Лорана зображення функції має вигляд

,

то .

Приклад 3. Знайти оригінал функції , використовуючи першу теорему розкладу.

Розв’язання. Маємо , якщо .

Тоді, .

Приклад 4. Знайти оригінал функції .

Розв’язання. Маємо . Тоді, .

В. Друга теорема про розклад.

Нехай – дробово-раціональна функція, тобто вона є відношенням двох многочленів

,

де і коефіцієнти – дійсні числа. Знайдемо всі корені многочлена у знаменнику і розкладемо його на множники. Тоді

,

де – корінь знаменника кратності (полюс порядку функції ).

Теорема 2. Якщо – правильна дробово-раціональна функція, полюси якої , то

.

З теорії лишків відомо, що , тому .

Приклад 5. Знайти оригінал за зображенням .

Розв’язання. Подамо це зображення у вигляді . Точки та є полюсами функції другого порядку. Обчислимо лишки функції в цих точках:

,

.

За другою теоремою розкладу

Застосування операційного числення

1. Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом.

Розглянемо задачу Коші для лінійного диференціального рівняння -го порядку зі сталими коефіцієнтами: знайти розв’язок рівняння

,

що задовольняє початкові умови

.

Загальна схема розв’язування задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами операційним методом:

1) від диференціального рівняння і початкових умов прямим перетворенням Лапласа переходимо до рівняння в зображеннях, яке називається операторним рівнянням;

2) розв’язуємо отримане алгебраїчне рівняння, тобто знаходимо зображення шуканого розв’язку;

3) переходимо від зображення розв’язку до шуканого розв’язку в просторі оригіналів.

Приклад 1. Знайти розв’язок задачі Коші , .

Розв’язання. Нехай . Тоді

, , .

Операторне рівняння має вигляд , звідки

.

Оскільки , то розв’язок задачі Коші .

Припустимо, що потрібно знайти розв’язок рівняння

,

що задовольняє початкові умови

.

Якщо відомо розв’язок відповідного рівняння при з тими ж початковими умовами, то

Справді, при переході до операторних рівнянь матимемо

,

.

Поділивши ці рівності отримаємо, що , тобто . Залишилось скористатися формулою Дюамеля і врахувати, що .

Приклад 2. Знайти розв’язок задачі Коші ,

Розв’язання. Розглянемо рівняння . Відповідне операторне рівняння має вигляд

. Тоді , а отже,

Тоді