3. Обчислення інтегралів типу .

Нехай -дробово-раціональна функція. Зробимо заміну . Тоді

Крім того, , тобто обійде коло радіуса 1 з центром в початку координат один раз. Ми отримаємо, що

За умови, що не має на колі особливих точок, цей інтеграл можна знайти з допомогою лишків.

Приклад 3. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Зробимо заміну . Тоді

.

4. Обчислення інтегралів типу .

Нехай аналітична в за винятком скінченної кількості точок, які не лежать на дійсній осі, а в має нуль принаймі 2-го порядку. Тоді , . Позначимо через дійсну вісь, тоді

Приклад 1. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Оскільки функція має особливі точки , які не лежать на дійсній осі і має в нуль другого порядку, то

.

Лема (лема Жордана). Нехай функція аналітична в замкненій верхній півплощині , за винятком скінченої кількості точок, і де – півколо (рис.33). Тоді якщо , то

.

Наслідок 1. Якщо функція задовольняє умови леми Жордана і на дійсні осі не має особливих точок, а число й, то

.

Наслідок 2. Нехай задовольняє умови леми Джордано, на дійсній осі не має особливих точок і при . Тоді

та

.

Приклад 2 . Обчислити дійсний невласний інтеграл

.

Розв’язання. Відповідна комплексна функція у верхній півплощині має одну особливу точку – простий полюс. Знайдемо лишок:

.

Тоді, виділяючи дійсну частину, за наслідком леми Жордана отримаємо

.

Зауваження. Інколи зручно формувати контур інтегрування у вигляді прямокутника чи криволінійного трикутника.

Лекція 14.

Перетворення Лапласа

1. Оригінал

Означення 1. Комплекснозначна функція дійсної змінної називається оригіналом, якщо вона задовольняє такі умови:

1) при ;

2) при функція кусково-неперервна, тобто на будь-якому проміжку має не більш ніж скінченну кількість розривів першого роду;

3) при функція має обмежений степінь зростання, тобто існує таке додатне число і таке невід’ємне число , що для всіх виконується нерівність

.

Точну нижню межу (найменше значення) , для якого виконується умова 3), називають показником росту функції .

Функції-оригінали при або обмежені або прямують до нескінченності не швидше, ніж показникові функція . Такі функції ще називають функціями експоненціального типу.

Найпростішим прикладом оригіналу є одинична функція Хевісайда

(достатньо взяти ).

Якщо задовольняє умови 2) і 3), то функція

є оригіналом. Тому надалі для скорочення запису домовимось замість писати і пам’ятати, що при рівна нулеві.

Функції є оригіналами. Проте далеко не всі функції є оригіналами. Наприклад, не є оригіналом, бо не виконується умова 3); функція теж не є оригіналом, бо не виконується умова 2).

Зауваження. Якщо і оригінали, то для довільних сталих функції , при , , , та також є оригіналами.

2. Зображення

Означення 2. Зображенням (перетворенням Лапласа) функції-оригіналу називається функція комплексної змінної , що визначається інтегралом Лапласа:

.

Символічно перетворення Лапласа записують або .

Зрозуміло, що потрібно з’ясувати, де ж інтеграл Лапласа збігається.

Теорема 1. Якщо функція – оригінал з показником росту , то інтеграл Лапласа абсолютно збігається в півплощині , а саме

,

і є в цій півплощині аналітичною функцією.

Теорема 2 (необхідна умова існування зображення). Якщо функція – зображення функції з показником росту , то .

Знайдемо зображення деяких функцій, використовуючи означення.

Приклад 1. Знайти зображення одиничної функції Хевісайда.

Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Інтеграл Лапласа

.

Якщо , то . Таким чином, .

Приклад 2. Знайти зображення функції .

Розв’язання. Функція є оригіналом з показником росту . Інтеграл Лапласа

.

Оскільки , то при . Отже, .