Нулі та ізольовані особливі точки

1. Нулі аналітичних функцій.

Нехай аналітична в області і не є тотожно рівна нулеві.

Означення 1. Точка називається нулем функції , якщо .

Означення 2.Точка називається нулем -го порядку, якщо , а . Якщо , то називають простим нулем функції .

Приклад 1. Знайти нулі функції .

Розв’язання. Маємо . Оскільки , то точки є простими нулями (нулями першого порядку).

Теорема 1. Для того, щоб точка була нулем -го порядку аналітичної в функції , необхідно і достатньо, щоб в деякому околі точки функцію можна було зобразити у вигляді

,

де функція аналітична в цьому околі і .

Доведення. Необхідність. Якщо аналітична в , то в околі точки її ряд Тейлора матиме вигляд . Оскільки , а , то , тобто

де , при цьому , бо .

Достатність.Нехай , тоді

…

Отже, є нулем -го порядку.

Приклад 2. Встановити порядок нуля для функції .

Розв’язання. Розкладемо функцію в ряд Тейлора в околі , матимемо

Отже, –– нуль 15-го порядку.

Теорема 2( про ізольованість нулів). Якщо точка є нулем аналітичної в функції , то існує окіл точки , в якому функція не має інших нулів.

Означення 3. Точка множини називається точкою скупчення , якщо в як завгодно малому околі є інші точки цієї множини.

Наприклад, множина натуральних чисел немає жодної точки скупчення, а будь-яка пряма на площині має точками скупчення всі свої точки.

Наслідок 1.Якщо функція аналітична в , то множина її нулів не має точки скупчення в

Наслідок 2. Якщо і аналітичні в області , а множина має хоча б одну точку скупчення в , то

Щоб довести цей наслідок, досить розглянути функцію .

Приклад 3. Рівність справедлива для всіх , бо вона справедлива на дійсній осі і всі присутні тут функції аналітичні в С.

Означення 4 Аналітична в околі точки функція має в точці нуль -го порядку, якщо функція має нуль -го порядку в точці .

Приклад 4 Встановити порядок нуля для функції .

Розв’язання. Оскільки і , то згідно теореми 1 точка є нулем другого порядку функції , а, отже, є нулем другого порядку функції .

Зауваження. Функція має в нуль -го порядку тоді і тільки тоді, коли , де функція аналітична в околі і .

2. Ізольовані особливі точки та їх класифікація.

Означення 1. Якщо функція аналітична в деякому проколотому околі точки , але в самій точці не визначена, або не аналітична, то точка називається ізольованою особливою точкою функції .

Означення 2. Якщо ізольована особлива точка функції і , то називається усувною особливою точкою.

Приклад. Знайти ізольовані особливі точки функції і встановити їх характер.

Розв’язування. Особливою точкою є . Оскільки , то є усувною особливою точкою.

Теорема 1. Наступні твердження еквівалентні:

1) – усувна особлива точка функції ;

2) – обмежена в деякому околі точки ;

3) в ряді Лорана функції в околі точки немає головної частини, тобто

Означення 3. Якщо , то називається полюсом функції .

Якщо є полюсом функції , то є нулем функції . Порядок нуля функції називається порядком полюса функції . Полюс першого порядку також називають простим полюсом.

Теорема 2. Точка є полюсом -го порядку функції тоді і тільки тоді, коли головна частина ряду Лорана містить членів, тобто

Доведення. Зауважимо, що випадок зводиться до випадку розглядом замість функції , тому обмежимось доведенням теореми для скінченого випадку.

Необхідність. Якщо полюс -го порядку функції , то є нулем -го порядку функції , а, отже, , де - аналітична в околі і Тоді , де - аналітична в околі і . Оскільки , , то

.

Залишилось пере позначити . Тоді і необхідність доведена.

Достатність. Винісши за дужки отримаємо, що , де - сума ряду, яка залишилась в дужках, причому . Залишилось перевернути вираз і скористатись визначенням нуля порядку.

Приклад. Знайти ізольовані особливі точки функції і встановити їх характер.

Розв’язування. Особливою точкою є . Оскільки

,

то є полюсом третього порядку.

Ясно, що коли точка – полюс -го порядку функції , то для функції ця точка є усувною особливою. Тоді . Тому

,

тобто в полюсі функція має нескінченну границю. Порядком полюса служить найбільше натуральне значення , при якому існує скінченна границя .

Означення 3. Якщо ізольована особлива точка функції і не існує, то називається істотно особливою точкою.

В істотно особливій точці функція не має границі ні скінченної, ні нескінченної. Одним із методів доведення відсутності границі функції є вибір таких шляхів прямування точки до точки , що функція прямуватиме до різних чисел.

Приклад. Знайти особливі точки функції і встановити їх тип.

Розв’язання. Очевидно, що особливою точкою є .

Оскільки, , а , то не існує, а, отже, є істотно особливою точкою.

Теорема 4. Для того, щоб точка була істотно особливою точкою функції , необхідно і досить, щоб у головній частині ряду Лорана в околі точки було нескінченно багато членів.

Доведення випливає з попередніх теорем.

Приклад. Знайти всі особливі точки функції та визначити їх характер:

.

Розв’язання. Знайдемо точки, де функція не визначена: , , , . Дослідимо поведінку функції в околі кожної з цих точок.

: ,

– усувна особлива точка.

: ;

Оскільки, , то – полюс другого порядку.

: – не існує, оскільки не існує ;

– істотно особлива точка.

: – не існує, оскільки не існує ;

– істотно особлива точка.

Зауваження. Особливі точки можуть бути неізольованими. Наприклад, функція має полюси . Тому в довільному околі особливої точки є інші особливі точки. Початок координат є точкою згущення полюсів цієї функції.

Лекція 12.