ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет автоматики и информационных технологий

Кафедра «Автоматика и управление в технических системах»

ОТЧЕТ

Лабораторная работа №3

Изучение устойчивости САУ и ее взаимосвязи с расположением корней характеристического полинома.

Вариант №2

Выполнила: ххххххххххххххх

ххххххххххххххх

Проверил: Мандра А. Г.

Плешивцева Ю.Э.

Самара 2009г.

Лабораторная работа №3

1. Изучение устойчивости САУ и ее взаимосвязи с расположением корней характеристического полинома.

Цель работы. Исследование характеристик систем с обратной связью в корневой, временной и частотной областях;

Изучение взаимосвязи устойчивости замкнутых отрицательной обратной связью систем с расположением корней характеристического полинома и общим коэффициентом передачи системы;

Изучение частотных критериев устойчивости.

1. Задание

По передаточной функции разомкнутой системы записать ее характеристический полином D(p) в замкнутом состоянии, определить его коэффициенты, выделить мнимую и вещественную составляющие.

Исследовать устойчивость САУ с помощью критерия Михайлова.

Изучить влияние контурного коэффициента усиления на устойчивость системы, годограф Михайлова и вид переходного процесса.

Изучить влияние корней характеристического полинома на вид годографа Михайлова.

Разомкнутая передаточная функция имеет следующий вид:

Замкнутая передаточная функция:

Подставим данные в эти передаточные функции, получим:

;

Запишем характеристический полином D(p):

Выделим мнимую и вещественную части:

Строим годограф Михайлова, подставляя различные значения частоты в и .

Рис. 1‑1 Годограф Михайлова

Рис. 1‑2 Переходный процесс замкнутой системы

Изучая влияние корней характеристического полинома на вид годографа Михайлова можно сделать вывод, что данная система при будет устойчива, так как годограф охватывает три квадранта, что соответствует наивысшей степени характеристического полинома, в направлении против часовой стрелки и уходит в .

Найдем теперь и определим влияние контурного коэффициента усиления на устойчивость системы, годограф Михайлова и вид переходного процесса.

Решив эту систему, получим:

При увеличении К годограф будет смещаться вправо по оси абсцисс. Увеличением К можно добиться чтобы годограф проходил через начало координат, что будет соответствовать системе, находящейся на колебательной границе устойчивости:

Рис. 1‑3 Годограф Михайлова при К = 37

Рис. 1‑4 Переходный процесс замкнутой системы при К = 37

Система становится не устойчивой, так как она не охватывает три квадранта против часовой стрелки и находится в колебательной границе устойчивости.

2. Задание

Задавая постоянную времени по варианту, подбором найти коэффициент усиления системы, при котором она будет находится на колебательной границе устойчивости.

Вариант №2:

Подставим вместо значения указанные выше:

При 0,18:

При 0,48:

При 0,78:

3. Задание

Для произвольно спроектированных передаточных функций привести переходные процессы, соответствующие наличию: а) одного и двух нулевых корней-полюсов; б) паре чисто мнимых корней-полюсов; в) корню-полюсу с положительной вещественной частью.

Убедится, что каждый корень-полюс с отрицательной вещественной частью разворачивает годограф Михайлова на 90 градусов против часовой стрелки, а с положительной – на 90 градусов по часовой стрелке. Убедится, что только корни-полюсы с неотрицательной вещественной частью приводят к расходящемуся переходному процессу.

1. Напишем произвольно спроектированные передаточные функции, которые соответствуют наличию одного и двух нулевых корней-полюсов.

Рис. 1‑5 Переходный процесс, соответствующий наличию в ПФ одного нулевого корня-полюса

Рис. 1‑6 Переходный процесс, соответствующий наличию в ПФ двух нулевых корней-полюсов

2. Напишем произвольно спроектированные передаточные функции, которые соответствуют наличию паре чисто мнимых корней-полюсов.

Рис. 1‑7 Переходный процесс данного звена

3. Напишем произвольно спроектированные передаточные функции, которые соответствуют наличию корню-полюсу с положительной вещественной частью.

Рис. 1‑8 Переходный процесс данного звена

Заданная передаточная функция имеет следующий вид:

Построим годограф Михайлова соответствующей передаточной функции.

Рис. 1‑9 Годограф Михайлова заданной передаточной функции

Проверим, как влияет добавления в ПФ корня-полюса с отрицательной вещественной частью и с положительной вещественной частью.

Рис. 1‑10 Годограф Михайлова с добавлением корня-полюса с отрицательной вещественной частью

Рис. 1‑11 Годограф Михайлова с добавлением корня-полюса с положительной вещественной частью

4. Задание

Определить параметр а, при котором система будет устойчива (использовать критерии Гурвица и Михайлова)

Рис. 1‑12 Исходная САУ

Определим устойчивость по критерию Гурвица.

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

Составим определитель Гурвица

При a < 0 система устойчива, при a > 0 - система неустойчива.

При а = 1

Рис. 1‑13 Переходная характеристика при а = 1

При а = -1

Рис. 1‑14 Переходная характеристика при а = -1

Определим устойчивость по критерию Михайлова.

При а = -2

Рис. 1‑15 Система устойчива

Система устойчива, так как годограф обходит два квадранта против часовой стрелки, что соответствует наивысшей степени характеристического полинома.

При а = 2

Рис. 1‑16 Система неустойчива

10