Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лабораторная работа / ПРАКТИКА _6.doc
Скачиваний:
24
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
446.46 Кб
Скачать

Международный Университет

Бизнеса и Управления

БАЛАКОВСКИЙ

ИНСТИТУТ

БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

«Анализ систем автоматического управления по корневому методу»

Методическое пособие к практическим работам по курсу: «Теория автоматического управления»

для студентов специальностей 210100 – «Управление и информатика в технических системах»

230700 – «Сервис», 351400 – «Прикладная информатика»,

Одобрено

Редакционно-издательским

советом

Балаковского Института

Бизнеса и Управления

Балаково 2004

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научится анализировать САУ по значению полюсов и нулей передаточной функции.

Теоритические положения

Кроме требования устойчивости к САУ предъявляются определенные требования но качеству переходного процесса. Система может быть устойчи­ва, но время переходного процесса настолько большое или перерегулирова­ние так велико, что для управления данным технологическим процессом данная система непригодна. Показатель качества регулирования наглядно можно увидеть и определить по кривой переходной характеристики. (Рисунок 4.1)

Рисунок 4.1 – График переходной функции

Основные показатели качества регулирования следующие:

tp - время регулирования. Это время от момента подачи управляющего сигнала до момента, когда регулируемый параметр по абсолютному значе­нию станет меньше наперед заданной величины ;

% - перерегулирование.Определяется отношением максимального ожижения регулируемой величины от установившегося значения к ее уста­новившемуся значению Xуст Обычно выражается в %;

tm - время возникновения максимального отклонения переходной функции;

Т - период колебаний в переходном процессе;

п - количество колебаний за время переходного процесса или количе­ство полуволн;

Xуст - ошибка регулирования. Показывает отклонение установившегося •значения регулируемого параметра от заданного.

Приближенным анализ САУ по корневому методу

Наиболее точно и наглядно эти показатели качества определяются пу­тем тем решения дифференциального уравнения и построения по нему графика переходной характеристики (рисунок 4.1). Это, так называемый, прямой ме­тод анализа. По этот метод трудоемкий, если дифференциальное уравнение высокого порядка (обычно, если n>4). Полос просто и без громоздких вычис­лений основные показатели качества САУ приближенно можно определить без нахождения уравнения переходной функции, по корневому методу, т. е. по взаимному расположению полюсов и нулей передаточной функции ( ПФ ) на плоскости корней (рисунок 4.3). Полюс ПФ определяется через корень характеристического полинома. Нуль определяется путем приравнивания ПФ к нулю или как корень полинома в числителе ПФ.

Основные показатели качества САУ по корневому методу:

Степень устойчивости (4.1)

где - Расстояние от минимальной оси до ближайшего полюса системы (фактически оно равно минимальному значению корня). Поэтому показателю можно приближенно определить время регулирования:

(4.2)

Степень колебательности

(4.3)

где - минимальная часть корня характеристического полинома;

- вещественная часть этого корня

Поэтому можно определить перерегулирование

% = (4.5)

ПРИМЕР 1 Определить степень устойчивости (), приближенное значение времени регулирования (tp), степень коолебательности (), приближенное значение перерегулирования (%) по заданной ПФ сист:

РЕШЕНИИЕ

1 Определяем корни характеристического уравнения

, ,,,

2 Степень устойчивости (4.1)

3 Приближенное значение времени перерегулирования (4.2)

4 Степень колебательности (4.3)

5 Приближенное значение перерегулирования

% = (4.4)

ОТВЕТ: Приближенное значение перерегулирования

Перерегулирование % =

Определение степени устойчивости без нахождения корней

Приближенное значение степени устойчивости можно определить и без нахождения корней характеристического полинома. Пусть дан характеристический полином устойчивой САУ.

определяем значение среднегеометрического корня.

Задаемся предполагаемой степенью устойчивости , при условии<. Вводим новую переменнуюq=p+илиp=q-в характеристический полином (4.5). после алгебраических преобразований получаем

В полученном полиноме все вещественные части корней уменьшили свое значение на величину предполагаемой степени устойчивости. Если корни но­вого характеристического полинома остались отрицательные (это можно проверить по любому критерию устойчивости), то данная СЛУ обладает сте­пенью устойчивости не менее

ПРИМЕР 1 Дан характеристический полином САУ

(4,7)

Определить обладает ли система степенью устойчивости равной и определить время регулирования.

РЕШЕНИЕ

1 Определяем средний геометрический корень третьей степени

Заданная степень устойчивости меньше среднегеометрического корня, поэтому поставленная задача может иметь решение.

  1. Вводим новую переменную q=p+1 или p=q-1

  2. Проверяем устойчивость полученного характеристического полинома по критерию Гурвица

  1. Определяем приближенное значение времени регулирования

ОТВЕТ: полученный характеристический полином удовлетворяет критерию Гурвица, поэтому данная САУ обладает степенью устойчивости не менее единицы и имеет время регулирования не более 3 с.

ПРИМЕР 2 Проверим эту же систему на степень устойчивости

РЕШЕНИЕ

1 заданная степень устойчивости меньше среднегеометрического корня, поэтому поставленная задача может иметь решение.

2 Вводим новую переменную q=p+1.2 или p=q-1.2

3 Проверяем устойчивость полученного характеристического полинома по критерию Гурвица

  1. Определяем приближенное значение времени регулирования

ОТВЕТ: , поэтому данная САУ обладает степенью устойчивости равной точнои время регулирования

Определение времени регулирования с учетом других полюсов и нулей

Для более точного определения времени регулирования надо учесть влияние других полюсов и нулей. Для этого выбирается доминирующий по­люс на плоскости корней и затем определяется влияние остальных полюсов и нулей на время регулирования по формуле [ 5, 7 ]

(4.8)

где - доминирующее значение полюса (принимается ближайший полюс к мнимой оси),

p – расположение полюсов,

- расстояние между доминирующим полюсом и некоторым полюсом

- расстояние между доминирующим полюсом и некоторым нулем

ПРИМЕР 3 Определить время регулирования по заданной ПФ

РЕШЕНИЕ

1 Определяем значения полюсов и нулей характеристического полинома

, ,

Покажем расположение полюсов на плоскости корней (рис. 4.2)

2 Определяем приближенное значение по формуле (4.8)

Рисунок 4.2 – Расположение полюсов и нулей на плоскости корней к примеру 3

3 Определим более точное значение по формуле (4.8)

в качестве доминирующего полюса Pq принимаем р1=1 тогда;

ОТВЕТ : время регулирования =3.287с.

Примечание - Уравнение переходной функции по заданной ПФ следующее

Точное значение =3.14464 с. Ошибка вычислениякорневым методом по формуле (4.8) в пределах 4.5% в сторону увеличения

ПРИМЕР 4 Определить время регулирования по заданной ПФ

РЕШЕНИЕ

1 Определяем значения полюсов и нулей характеристического полинома

, ,

Покажем расположение полюсов на плоскости корней (рис. 4.3)

Рисунок 4.2 – Расположение полюсов и нулей на плоскости корней к примеру 4

2 Степень устойчивости

3 Приближенное значение =3/0.5=6с

4 Определяем значение согласно расположению полюсов и нулей на плоскости корней по рисунку 4.3

в качестве доминирующего полюса принимаем

Величину определяем из прямоугольника

Величину определим из прямоугольника

5 По формуле (4.8) получаем

ОТВЕТ Время регулирования

Примечание

1 определить влияние полюса на время регулирования. Для этого определимпо примеру 4 без учета полюса

Ошибка расчета и пределах 0,7%. Поэтому, если ПФ имеет полюса, ко­торые удалены от доминирующего полюса на порядок (т. е. в 10 раз) и боль­ше, то при расчете их влиянием можно пренебречь.

2 Определим влияние нуля n1 = -2 на время регулирования

Ошибка в пределах 6 % поэтому такой полюс надо учитывать.

Определение основных показателей качества регулирования

а) Время наступления максимума производится по формуле (7)

(4.9)

где - Доминирующее значение полюса

- минимальная часть комплексного доминирующего полюса,

- расположение других полюсов на плоскости корней,

- расположение нулей на плоскости

arg – аргумент величины или, т.е. угол в радианах относительно отрезкаилии осью абсцисс.

б) Величина максимального перерегулирования производится по формуле :

(4.10)

где - вещественная часть доминирующего полюса,

- время наступления первого максимума по формуле (4.9)

в) Количество колебаний за время переходного процесса:

(4.11)

где - время регулирования

- время наступления первого максимума,

г) Период колебательного процесса переходной функции

(4.12),

д) Определение ошибки регулирования в установившемся режиме

(4.13)

где - коэффициент статической ошибки

Для статических систем коэффициент статической ошибки равен

(4.14)

где к – коэффициент усиления

Для астатических систем коэффициент статической ошибки равен

(4.15)

ПРИМЕР 5 По данным примера 4 определить дополнительные показатели качества регулирования:

- степень колебательности

- время регулирования приближенное и точное

- время первого максимума

% - перерегулирование

n – количество колебаний

- коэффициент статической ошибки

РЕШЕНЕИЕ

1 Степень колебательности

2 Приближенное значение перерегулирования:

3 Для вычисления по формуле (4.9) вычислими

4 Определяем

5 Значение иопределено в примере 4 и соответственно равно 5/4.89 и 2.44/2

6 Определяем по формуле (4.10)

7 Определяем количество колебаний за по формуле (4.11)

8 Определяем коэффициент статистической ошибки (4.12)

Результаты анализа САУ по примеру 4-5 приведены в таблице 4.1

Таблица 4.1 – Показатели качества САУ

приближ

точно

%

приближ

%

точно

-0.5j1.93

0.5

3.86

6.0

6.44

1.36

44.4

63

5

Примечание

1 Определение полюса на величину перерегулирования. Для этого определим% по примеру 5 без учета полюса

2 Определим влияние нуля на величину перерегулирования

3 Определим величину перерегулирования, если не учитывать влияния полюса и нуля

ВЫВОД: Приближенное значение перерегулирования определяется с учетом только доминирующего полюса. Остальные полюса уменьшают значение перерегулирования (в данном примере па 9,2%). Нули увеличи­вают значение перерегулирования ( в данном примере на 36,5%).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке лабораторная работа