Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
23
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
1.68 Mб
Скачать

Международный Университет

Бизнеса и Управления

БАЛАКОВСКИЙ

ИНСТИТУТ

БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

«АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КРИТЕРИЮ НАЙКВИСТА С ПОМОЩЬЮ ЛАФЧХ»

Методическое пособие к практическим работам по курсу: «Теория автоматического управления»

для студентов специальностей 210100 – «Управление и информатика в технических системах»

230700 – «Сервис», 351400 – «Прикладная информатика»,

Одобрено

Редакционно-издательским

советом

Балаковского Института

Бизнеса и Управления

Балаково 2004

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться строить асимптотическую ЛАФЧХ разомкнутой САУ и определять се устойчивость по критерию Найквиста.

Теоритические положения

lg=1.301 lg=1.602

lg=2.602 lg=3.602

В данной работе исследуется устойчивость наиболее распространенной САУ - системы с обратной связью или замкнутой системы. Эта система более склонна к неустойчивой работе, так как на вход этой системы поступает два сигнала: управляющий сигнал U(t) и сигнал обратной связи Xoc(t). (Рисунок 3.1)

Построение системы координат

=2 =4

=6

= 8

По оси абсцисс в логарифмическом масштабе откладываются знамения частот. Принимаем, что и точке пересечения оси абсцисс и ординат =1 (или 1 герц), тогдаlg=0

Определим lgпри различных:

=0.1

lg=-2

= 20 = 40

= 400 = 4000

lg=-1

=0.01

Учитывая, что

=0,2 lg= - 1+0.301 =0,02 lg= - 2+0.301

=0.4 lg= - 1+0.602 =0,04 lg= - 2+0.602

=0.6 lg= - 1+0.780 =0,004 lg= - 3+0.602

=0.8lg= - 1+0.903 =0,0004 lg= - 4+0.602

Определяем lgпри<0 следующим образом

lg=0.301 lg=0.602 lg=0.780 lg=0.903

Аналогично определяются lgдля других частот. По этим даyным вид­но, что при увеличении в 10 разlgувеличивается на 1 единицу, при уменьшениив 10 раз,lgуменьшается на единицу. Эта величина называ­ется ДЕКАДОЙ. если построение ЛАЧХ ведется в тетрадке, разлинованную в клетку, то масштаб удобно взять следующий: одна декада равна 0 клеткам (рисунок 3.2).

Начиная с точки пересечения осей координат ,где принимаем = 1 (lg 1 = 0) вправо через 3 клетки отмечаем = 2, через 6 клеток=4, через 7,8 клеток = 6, через 9.0 клеток=8 и через 10 клеток =10. Особен­ность такого построения в том, что масштаб берется логарифмический, со­гласно расчета Ig , а по оси абсцисс записываются действительные значе­ния . Далее, аналогично отмечаем другие значенияlg. Через 13 клеток (относительно начала координат)= 20, через 16 клеток=40, через 17,8 клеток =80 и т. д.

Масштабирование оси абсцисс при < 1 проводим следующим обра­зом. Через 10 клеток влево относительно начала координат откладываем=0.1. Затем, двигаясь вправо от этой точки через 3 клетки, отмечаем =0.2, через 6 клеток =0.4 и т.д. Затем, через 20 клеток влево (относи­тельно начала координат) откладываем =0.01. Снова двигаясь вправо че­рез 3 клетки =0.02, через 6 клеток 0.04 и т.д. Таким образом, масштабиро­вание оси абсцисс в пределах декады проводится одинаково. Разница в том, относительно какой точки начинаем двигаться вправо. Так, если относитель­но =10, то далее вправо 20, 40, 60, 80. Если относительно =0.1, то далее вправо 0.2, 0.4, 0.6, 0.8. Такой способ масштабирования оси абсцисс намного проще, по сравнению с вычислением логарифма каждого значения и откла­дывание его в логарифмическом масштабе на оси абсцисс.

По оси ординат показывается знамение коэффициента усиления или значение амплитуды и тоже в логарифмическом масштабе, точнее 20 Ig A (или в децибелах)

А=1 20lgA=0

А=10 20lgA=20

А=100 20lgA=60

Если построение ЛАЧХ ведется в тетрадке в клетку, то масштаб удоб­но взять 20 дБ = 4 клетки. Теперь, согласно выбранному масштабу, по оси абсцисс и по оси ординат необходимо определить наклон ЛАЧХ. Известно, что асимптотическая ЛАХ апериодического звена после =1/Т имеет наклон -20 дБ/дек, а колебательного звена -40 дБ/дек. Для получения вели­чины этого наклона из точки на оси ординат равной 20 дБ проводим прямую до точки на оси абсцисс равной =10 (или 1 декада). Получим отрезок пря­мой с наклоном -20 дБ/сек. Если из точки на оси ординат равной 40 дБ про­вести прямую в точку па оси абсцисс равной со = 10, то получим отрезок с наклоном -40 дБ/дек. Если в эту же точку (=10 провести прямую из точки на оси ординат равной 60дБ, то получим отрезок с наклоном -60 дБ/дек и т.д. Для получения положительного наклона проведем прямую из точки= 0.1 на оси абсцисс до точки 20lgA = +20дБ на оси ординат. Для получения

наклона +40 дБ/дек проводим прямую из точки =0.1 до точки20 IgA = +40 дБ и т.д.

Для построения фазовой логарифмической характеристики на оси ор­динат ниже точки 0 отложим 4 клетки (2 см) и проведем дополнительную ось абсцисс параллельно построенной и с таким же логарифмическим масшта­бом частот. Принимаем, что в точке пересечения осей φ=0, тогда через 4 клетки вниз (если построение ведется в тетрадке в клетку) по оси ординат откладываем -90, еще через 4 клетки -180 и т.д.

Если относительно (φ=0,чсрез 4 клетки вверх (или через 2 см.) отло­жить точку, то она соответствует углу равному +90. Через эти точки прово­дим прямые параллельно оси абсцисс для удобства построения фазовой ло­гарифмической характеристики. Таким образом, система координат для по­строения ЛАХ и ЛФХ готова.

Построение логарифмической амплитудной характеристики

В инженерных расчетах для существенного упрощения процесса по­строения ЛАХ действительную ЛАХ заменяют приближенной (аcсиметрической), в которой криволинейные участки ЛАХ представляют в виде прямых линий. При этом максимальное расхождение возникает при собственных частотах звена ( =1/Т) и равны =20 lg 2 = 3 дБ., что вполне допустимо, учитывая точность, получения самой математической модели САУ.

Построение асимптотической ЛАХ всегда начинают с определения собственной или сопрягаемой частоты каждого звена =1/Т,где Т - посто­янная времени этого звена. Значения этих частот откладываем на оси абс­цисс и эти точки проводим вертикальные штриховые линии (рисунок З.З) тем определяется общин коэффициент усиления системыK0бщ=K1 ...К и вычисляется 20 Ig K0бщ .Переходим непосредственно к по­строению АХ.

Если в САУ пет интегрирующего звена, то ЛАХ низких частот пред­ставляет собой прямую линию параллельную оси абсцисс с ординатой рав­ной 20lg K0бщ до первой сопрягаемой частоты . После этой сопрягаемой частоты наклон -20дБ/дек, если это было апериодическое звено или -40дБ/дек, если это колебательное звено. Так, после каждой следующей со­прягаемой частоты, наклон ЛАХ меняется в зависимости от вида этого звена. Если, например, согласно рисунку 3.3соответствует апериодическому звену,- колебательному,- форсирующему, а интегрирующего звена нет, то наклон асимптотической ЛАХ будет меняться следующим образом: до- прямая, наклон 0 дБ/дек с ординатой20 Ig K0бщ .После донаклон -20 дБ/дек, соответствует апериодическому звену. После до наклон -60 дБ/дек (колебательное звено увеличило наклон сразу на -40 дБ/дек ), после и далее наклон -40 дБ/дек (форсирующее звено уменьши­ло наклон на +20 дБ/дек).

Если а САУ есть интегрирующее звено, то вначале построения мож­но провести без его учета (как показано выше), а после окончания такого построения честь влияние интегрирующего звена. Для этого ЛАХ интегри­рующего звона представить в виде

К - коэффициент усиления интегрирующего звена, который раньше был уч­тен при построении ЛАХ без интегрирующего звена. Второе слагаемое -20 lg показывает наклон ЛАХ интегрирующего звена 20 дБ/дек одинако­вый на всех частотах.

Построение ЛАХ с интегрирующим звеном производится следующим образом. Через начало координат проводится прямая с наклоном -20 дБ/дек. При =1 (на оси ординат) ЛАХ с интегрирующим звеном и без него совпа­дают (точка N ).При<1 интегрирующее звено „приподнимает" ЛАХ и при<<1 ЛАХ идет вверх с наклоном -20дБ/дек (отрезок МК ). При>1 интег­рирующее звено „опускает" ЛАХ и на каждом отрезке асимптотически по­строенной

Рисунок 3.3 - Построение асимптотической ЛАХ и ЛФХ без интегрирующе­го звена

- собственная частота апериодического звена

- собственная частота колебательного звена

- собственная частота форсирующего звена

ЛАХ без интегрирующего звена этот наклон увеличивается дополнительно на -20дБ/дек. В результате ось абсцисс будет пересечена при меньшой часто­те (точка L на рисунке 3.4)

Построение логарифмической фазовой характеристики

ЛФХ характеризует угол отставания выходного сигнала САУ от вход­ного в зависимости от частоты входного сигнала. Для дифференцирующего и форсирующего звена ЛФХ проходит с опережением выходного сигнала, но в любой реальном САУ состоящей из различных звеньев на ее выходе всегда будет отставание выходного сигнала. Рассмотрим способ асимптотического построения логарифмической

фазочастотной характеристики апериодического звена, т.е. путем замены действительной кривой ЛФХ прямыми линиями. При собственной частоте= 1/7 угол отставания апериодического звена

Если частота увеличивается на 1 декаду в секунду (в 10 раз ) Относительно собственной частоты , то

Для упрощения построения ЛФХ принимаем .

Если частота уменьшится на 1 декаду относительно , то

Исходя из этого, асимптотическое построение логарифмической фазочастотной характеристики апериодического звена проводим в следующей последовательности.

Определяем начала и конца фазовой характеристики апериодического звена

- при

- при

- при

Через эти точки проводим прямую. При других значениях фазовая характеристика апериодического звена выглядит следующим образом:

- при

- при

Асимптотическое построение фазочастотной характеристики колебательного звена проводится аналогично

-

- ;;

- ;

С учетом этого, фазочастотная характеристика колебательного звена строится в следующей последовательности.

- при ;

- при ;

- при ;

- через эти точки проводим прямую. При других частотах равна.

Рисунок 3.4 - Построение асимптотической ЛАХ и ЛФХ с интегрирующим звеном

Примечание - При принятых допущениях фактически построена ЛФХ при т.е. для двойного апериодического звена. ПриЛФХ будет про­ходить через значение -90° с большим наклоном. Но при асимптотическом способе построения это пренебрегается.

Асимптотическое построение ЛФХ характеристики форсирующего зве­на проводится аналогично, только угол будет положителен.

- при ;

- при ;

- при ;

ЛФХ дифференцирующего звена равна , интегрирующего звенана всем диапазоне частот. Построение логарифмической фазочастотной характеристики всей системы производится путем геометрического сложения фазовой характеристики отдельных звеньев. На рисунке 3,3показано построение ЛАЧХ без интегрирующего звена. На рисунке 3,4 показано построение ЛАЧХ с интегрирующим звеном.

Определение устойчивости замкнутой СЛУ

Для определения устойчивости замкнутой СЛУ необходимо из точки, где ЛФХ принимает значение -1800 провести вертикальную линию до пере­сечения с ЛАХ. Если ЛАХ в этой точке имеет отрицательное значение (т.е. расположена ниже оси абсцисс), то замкнутая САУ устойчива. Если ЛАХ в этой точке имеет положительное значение (или расположена выше оси абс­цисс), то замкнутая САУ неустойчива. Если ЛАХ в этой точке равна 0, то замкнутая САУ находится на границе устойчивости. При анализе устойчиво­сти С АУ по критерию Найквиста по ЛАЧХ введено понятие:

ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ ПО АМПЛИТУДЕ - это величина в децибелах, на которую надо увеличить коэффициент усиления, чтобы привести систему к границе устойчивости

где - частота при которой ;

ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ ПО ФАЗЕ – это угол, на который надо уменьшить фазочастотную характеристику, чтобы ее значение равнялось -1800.

где - частота при которой.

Определение запаса устойчивости по амплитуде и по фазе как показано на рисунке 3,7

ПРИМЕР 1 Определить запасы устойчивости замкнутой САУ, если ее структурная схема показана на рисунке 3,5 и передаточные функции звеньев равны

Рисунок 3,5 – Структурная схема САУ к примеру 1

РЕШЕНИЕ

I Общая передаточная функция разомкнутой САУ (учитывая точку об­рыва цепи) раина

  1. Построим систему координат в логарифмическом масштабе. Масштаб по оси абсцисс: 1 декада соответствует 5 см., по оси ординат: 20 децибел со­ответствует 2см. Ниже, через 2 см. проводим вторую ось абсцисс для фазо­вой логарифмической характеристики. Масштаб по оси абсцисс - тот же (1 декада - 5 см.) по оси ординат - 90 соответствует 2см. ( Рисунок 3.6)

  2. Определяем собственную частоту каждого звена

Форсирующее

Апериодическое

Интегрирующее

Для определения собственной (резонансной) частоты колебательного звена представим в виде

тогда

Согласно полученным значениям проводим штриховые линии через ось абсцисс на рисунке 3,6

  1. Вычисляем общий коэффициент усиления

  1. ЛАЧХ построим в два этапа

1этап - без учета интегрирующего звена, (рисунок 3,6)

2этап - с учетом интегрирующего звена. (рисунок 3,7)

ПО ПЕРВОМУ ЭТАПУ построения ЛАХ будем проводить следующим обра­зом. До частоты прямая линиядБ. Затем с наклоном -20 дБ/дек под действием апериодического звена до частоты. Далее прямая линия 0 дБ/дек под действием форсирующего звена, которое имеет наклон +20 дБ/дек (-20 дБ/дек +20 дБ/дек = 0 дБ/дек ) до частоты и, наконец, с наклоном -40 дБ/дек под действием колебательного звена.

Рисунок 3.6 - Построение ЛАЧХ без учета интегрирующего звена (1этап)

6 Для построения фазочастотной характеристики по первому этапу определяем для апериодического звена

- при ;

- при ;

- при ;

для форсирующего звена

- при ;

- при ;

- при ;

для колебательного звена

- при ;

- при ;

- при ;

для интегрирующего звена

при любой частоте ( и первом этапе построения этот угол не учитывается)

7 Проводим прямую линию через точки, соответствующие частотам ,,и получаем асимптотическую фазочастотную характеристику соответствующего звена. Алгебраически складываем значения для каждого звена, получаем общую фазочастотную характеристику системы.

8 ВТОРОЙ ЭТАП - учет интегрирующего звена. Проводим JIAX интегрирующего звена через начало координат (учитывая, что T=1 ) с наклоном -20 дБ/дек. Затем складываем ЛАХ интегрирующего звена с по­строенной ЛАХ.

Рисунок 3,7 – Построение ЛАХ и ЛФХ с учетом интегрирующего звена (2 этап)

При значение ЛАХ остается тем же, по наклон увеличивается до -40 дБ/дек от до. При наклон ЛАХ будет -20 дБ/дек, а принаклон ЛАХ равен -20 дБ/дек до. Нако­нец, при наклон ЛАХ будет -60 дБ/дек. Таким образом, значение

ЛАХ везде изменится (кроме) и наклон ЛАХ везде увеличивается на -20 дБ/дек.

9 Фазовая характеристика при учете интегрирующего звена по виду не изменится, но опустится вниз па -90°.

10 Определяем запас по амплитуде. Из точкипроводим пря­мую вертикально вверх до пересечения с ЛАХ и находим точку пересечения

20 Ig А =-7 IgA =- 7/20 = -0.35 А = 10-0,35 = 0.446

11 Определяем запас по фазе. Из точки ,(L()= 0) проводим прямую вертикально вниз до пересечения с ЛФХ и находим то­гда