Международный Университет
Бизнеса и Управления
БАЛАКОВСКИЙ
ИНСТИТУТ
БИЗНЕСА И УПРАВЛЕНИЯ
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
«Анализ систем автоматического управления по корневому методу»
Методическое пособие к практическим работам по курсу: «Теория автоматического управления»
для студентов специальностей 210100 – «Управление и информатика в технических системах»
230700 – «Сервис», 351400 – «Прикладная информатика»,
Одобрено
Редакционно-издательским
советом
Балаковского Института
Бизнеса и Управления
Балаково 2004
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научится анализировать САУ по значению полюсов и нулей передаточной функции.
Теоритические положения
Кроме требования устойчивости к САУ предъявляются определенные требования но качеству переходного процесса. Система может быть устойчива, но время переходного процесса настолько большое или перерегулирование так велико, что для управления данным технологическим процессом данная система непригодна. Показатель качества регулирования наглядно можно увидеть и определить по кривой переходной характеристики. (Рисунок 4.1)
Рисунок 4.1 – График переходной функции
Основные показатели качества регулирования следующие:
tp - время регулирования. Это время от момента подачи управляющего сигнала до момента, когда регулируемый параметр по абсолютному значению станет меньше наперед заданной величины ;
% - перерегулирование.Определяется отношением максимального ожижения регулируемой величины от установившегося значения к ее установившемуся значению Xуст Обычно выражается в %;
tm - время возникновения максимального отклонения переходной функции;
Т - период колебаний в переходном процессе;
п - количество колебаний за время переходного процесса или количество полуволн;
Xуст - ошибка регулирования. Показывает отклонение установившегося •значения регулируемого параметра от заданного.
Приближенным анализ САУ по корневому методу
Наиболее точно и наглядно эти показатели качества определяются путем тем решения дифференциального уравнения и построения по нему графика переходной характеристики (рисунок 4.1). Это, так называемый, прямой метод анализа. По этот метод трудоемкий, если дифференциальное уравнение высокого порядка (обычно, если n>4). Полос просто и без громоздких вычислений основные показатели качества САУ приближенно можно определить без нахождения уравнения переходной функции, по корневому методу, т. е. по взаимному расположению полюсов и нулей передаточной функции ( ПФ ) на плоскости корней (рисунок 4.3). Полюс ПФ определяется через корень характеристического полинома. Нуль определяется путем приравнивания ПФ к нулю или как корень полинома в числителе ПФ.
Основные показатели качества САУ по корневому методу:
Степень устойчивости (4.1)
где - Расстояние от минимальной оси до ближайшего полюса системы (фактически оно равно минимальному значению корня). Поэтому показателю можно приближенно определить время регулирования:
(4.2)
Степень колебательности
(4.3)
где - минимальная часть корня характеристического полинома;
- вещественная часть этого корня
Поэтому можно определить перерегулирование
% = (4.5)
ПРИМЕР 1 Определить степень устойчивости (), приближенное значение времени регулирования (tp), степень коолебательности (), приближенное значение перерегулирования (%) по заданной ПФ сист:
РЕШЕНИИЕ
1 Определяем корни характеристического уравнения
, ,,,
2 Степень устойчивости (4.1)
3 Приближенное значение времени перерегулирования (4.2)
4 Степень колебательности (4.3)
5 Приближенное значение перерегулирования
% = (4.4)
ОТВЕТ: Приближенное значение перерегулирования
Перерегулирование % =
Определение степени устойчивости без нахождения корней
Приближенное значение степени устойчивости можно определить и без нахождения корней характеристического полинома. Пусть дан характеристический полином устойчивой САУ.
определяем значение среднегеометрического корня.
Задаемся предполагаемой степенью устойчивости , при условии<. Вводим новую переменнуюq=p+илиp=q-в характеристический полином (4.5). после алгебраических преобразований получаем
В полученном полиноме все вещественные части корней уменьшили свое значение на величину предполагаемой степени устойчивости. Если корни нового характеристического полинома остались отрицательные (это можно проверить по любому критерию устойчивости), то данная СЛУ обладает степенью устойчивости не менее
ПРИМЕР 1 Дан характеристический полином САУ
(4,7)
Определить обладает ли система степенью устойчивости равной и определить время регулирования.
РЕШЕНИЕ
1 Определяем средний геометрический корень третьей степени
Заданная степень устойчивости меньше среднегеометрического корня, поэтому поставленная задача может иметь решение.
Вводим новую переменную q=p+1 или p=q-1
Проверяем устойчивость полученного характеристического полинома по критерию Гурвица
Определяем приближенное значение времени регулирования
ОТВЕТ: полученный характеристический полином удовлетворяет критерию Гурвица, поэтому данная САУ обладает степенью устойчивости не менее единицы и имеет время регулирования не более 3 с.
ПРИМЕР 2 Проверим эту же систему на степень устойчивости
РЕШЕНИЕ
1 заданная степень устойчивости меньше среднегеометрического корня, поэтому поставленная задача может иметь решение.
2 Вводим новую переменную q=p+1.2 или p=q-1.2
3 Проверяем устойчивость полученного характеристического полинома по критерию Гурвица
Определяем приближенное значение времени регулирования
ОТВЕТ: , поэтому данная САУ обладает степенью устойчивости равной точнои время регулирования
Определение времени регулирования с учетом других полюсов и нулей
Для более точного определения времени регулирования надо учесть влияние других полюсов и нулей. Для этого выбирается доминирующий полюс на плоскости корней и затем определяется влияние остальных полюсов и нулей на время регулирования по формуле [ 5, 7 ]
(4.8)
где - доминирующее значение полюса (принимается ближайший полюс к мнимой оси),
p – расположение полюсов,
- расстояние между доминирующим полюсом и некоторым полюсом
- расстояние между доминирующим полюсом и некоторым нулем
ПРИМЕР 3 Определить время регулирования по заданной ПФ
РЕШЕНИЕ
1 Определяем значения полюсов и нулей характеристического полинома
, ,
Покажем расположение полюсов на плоскости корней (рис. 4.2)
2 Определяем приближенное значение по формуле (4.8)
Рисунок 4.2 – Расположение полюсов и нулей на плоскости корней к примеру 3
3 Определим более точное значение по формуле (4.8)
в качестве доминирующего полюса Pq принимаем р1=1 тогда;
ОТВЕТ : время регулирования =3.287с.
Примечание - Уравнение переходной функции по заданной ПФ следующее
Точное значение =3.14464 с. Ошибка вычислениякорневым методом по формуле (4.8) в пределах 4.5% в сторону увеличения
ПРИМЕР 4 Определить время регулирования по заданной ПФ
РЕШЕНИЕ
1 Определяем значения полюсов и нулей характеристического полинома
, ,
Покажем расположение полюсов на плоскости корней (рис. 4.3)
Рисунок 4.2 – Расположение полюсов и нулей на плоскости корней к примеру 4
2 Степень устойчивости
3 Приближенное значение =3/0.5=6с
4 Определяем значение согласно расположению полюсов и нулей на плоскости корней по рисунку 4.3
в качестве доминирующего полюса принимаем
Величину определяем из прямоугольника
Величину определим из прямоугольника
5 По формуле (4.8) получаем
ОТВЕТ Время регулирования
Примечание
1 определить влияние полюса на время регулирования. Для этого определимпо примеру 4 без учета полюса
Ошибка расчета и пределах 0,7%. Поэтому, если ПФ имеет полюса, которые удалены от доминирующего полюса на порядок (т. е. в 10 раз) и больше, то при расчете их влиянием можно пренебречь.
2 Определим влияние нуля n1 = -2 на время регулирования
Ошибка в пределах 6 % поэтому такой полюс надо учитывать.
Определение основных показателей качества регулирования
а) Время наступления максимума производится по формуле (7)
(4.9)
где - Доминирующее значение полюса
- минимальная часть комплексного доминирующего полюса,
- расположение других полюсов на плоскости корней,
- расположение нулей на плоскости
arg – аргумент величины или, т.е. угол в радианах относительно отрезкаилии осью абсцисс.
б) Величина максимального перерегулирования производится по формуле :
(4.10)
где - вещественная часть доминирующего полюса,
- время наступления первого максимума по формуле (4.9)
в) Количество колебаний за время переходного процесса:
(4.11)
где - время регулирования
- время наступления первого максимума,
г) Период колебательного процесса переходной функции
(4.12),
д) Определение ошибки регулирования в установившемся режиме
(4.13)
где - коэффициент статической ошибки
Для статических систем коэффициент статической ошибки равен
(4.14)
где к – коэффициент усиления
Для астатических систем коэффициент статической ошибки равен
(4.15)
ПРИМЕР 5 По данным примера 4 определить дополнительные показатели качества регулирования:
- степень колебательности
- время регулирования приближенное и точное
- время первого максимума
% - перерегулирование
n – количество колебаний
- коэффициент статической ошибки
РЕШЕНЕИЕ
1 Степень колебательности
2 Приближенное значение перерегулирования:
3 Для вычисления по формуле (4.9) вычислими
4 Определяем
5 Значение иопределено в примере 4 и соответственно равно 5/4.89 и 2.44/2
6 Определяем по формуле (4.10)
7 Определяем количество колебаний за по формуле (4.11)
8 Определяем коэффициент статистической ошибки (4.12)
Результаты анализа САУ по примеру 4-5 приведены в таблице 4.1
Таблица 4.1 – Показатели качества САУ
|
|
|
приближ |
точно |
|
% приближ |
% точно |
|
-0.5j1.93 |
0.5 |
3.86 |
6.0 |
6.44 |
1.36 |
44.4 |
63 |
5 |
Примечание
1 Определение полюса на величину перерегулирования. Для этого определим% по примеру 5 без учета полюса
2 Определим влияние нуля на величину перерегулирования
3 Определим величину перерегулирования, если не учитывать влияния полюса и нуля
ВЫВОД: Приближенное значение перерегулирования определяется с учетом только доминирующего полюса. Остальные полюса уменьшают значение перерегулирования (в данном примере па 9,2%). Нули увеличивают значение перерегулирования ( в данном примере на 36,5%).