БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УИТ

Расчетно-графическая работа №1

по дисциплине

Теория автоматического управления

Исследование устойчивости стационарных и нестационарных, линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического управления

Выполнил: ст. гр. УИТ-41

Сизова Н.Ю.

Принял: доцент

Скоробогатова Т.Н. ______

“______” ___________2003

2003

СОДЕРЖАНИЕ

1. Исходные данные

2. Упрощение

3. Проверка устойчивости

3.1 Критерий Гурвица

3.2 Критерий Льенара-Шипара

3.3 Критерий Рауса

3.4 Критерий Михайлова

3.5 Критерий Найквиста

3.6 D-разбиение

3.7 Критерий Ляпунова

3.8 Критерий Шур-Кона

Вариант № 11

Цель работы: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно непрерывных САР. Доработать систему, получив ее устойчивой. Проверить устойчивость по критериям: 1.Гурвица, 2.Льенара – Шипара, 3.Рауса, 4.Михайлова, 5.Найквиста, 6.D-разбиения, 7.Ляпунова, 8.Шур - Кона.

1. Исходные данные

Исходная схема изображена на схеме 1

Схема 1

Передаточные функции звеньев:

W₁(p)=;

W₂(p)= ;

W₃(p)=;

W₄(p)=1;

W₅(p)= ;

W₆(p)= .

W₁(p), W₂(p), W₃(p), W₅(p), W₆(p) – апериодические звенья;

W₄(p) – пропорциональное звено.

2. Упрощение

Требуется добавить пропорциональное звено с передаточной функцией W₈(p)=10^-3, единичную обратную связь, охватывающую звенья W₃(p), W₄(p), W₈(p), а также обратную связь, охватывающую все звенья, с передаточной функцией W₇(p)=

=0,000005/(0,01р+1), и сумматор.

Проведя преобразования, получим схему 2.

W₁(p)

W₂(p)

W₃(p)

W₄(p)

W₅(p)

W₆(p)

W₈(p)

W₇(p)

Схема 2

Упростим:

W₅(p)

W₆(p)

W_{3,4,8 ОС}(p)

W₂(p)

W₁(p)

W₇(p)

W_{3,4,8 ОС}(р)=

W_ЭКВ

(p)

W₇(p)

W_ЭКВ(р)= W₁(p)·W₂(p)·W_{3,4,8 ОС}(p)·W₅(p)·W₆(p)=

=····=

=;

W(p)==

3. Проверка устойчивости

3.1 Критерий Гурвица

Запишем характеристическое уравнение системы:

a₀=2,36*10^-15; a₁=1,52*10^-11; a₂=3,1*10^-8; a₃=2,79*10^-5; a₄=0,00963;а₅=1,054

Теперь можно составить главный определитель Гурвица

Теперь посчитаем определители:

1.

2.

3.

4.

Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. определители имеют один знак с a₀=2.36*10^-15

3.2 Критерий Льенара-Шипара

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы при положительных коэффициентах характеристического уравнения все определители с четными (нечетными) индексами были положительными.

a₀=2,36*10^-15 >0

a₁=1,52*10^-11 >0

a₂=3,1*10^-8>0

a₃=2,79*10^-5 >0

a₄=0,00963>0

а₅=1,054>0,

>0,

Все условия выполняются – система устойчива.

3.3 Критерий Рауса

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак с а₀, а при а₀>0 были положительными. Таблица Рауса составляется из коэффициентов характеристического уравнения, которые располагаются в таблице по строкам и столбцам. В 1 строке записываются коэффициенты с четными индексами, а во второй – с нечетными. Все остальные клетки таблицы заполняются коэффициентами, которые вычисляются так:

k – номер столбца в таблице, i – номер строки.

Составим таблицу Рауса для нашей системы.

	Номер строки – i.	Номер столбца – k.
		k=1	k=2	k=3
-	1
-	2
	3
	4
	5
	6
	7

Из таблицы видно, что все коэффициенты положительны, значит САУ – устойчива.

3.4 Критерий Михайлова

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, проходила последовательно, нигде не обращаясь в 0, n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения, или устойчивость системы можно определить без построения кривой – на основе анализа вещественной и мнимой функций Михайлова, т.е. используя условие перемежаемости корней. Таким образом, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественная и мнимая функции Михайлова имели все действительные и перемежающиеся корни.

Запишем характеристическое уравнение системы и произведем замену p=jω:

Выделим реальную и мнимую части

Re(ω)=

Im(ω)=

Найдем корни уравнений вещественной части:

ω²₁ =1796050,27 , то ω₁ =1340,168

ω²₂ =39473,345 , то ω₂ =198,679

Найдем корни уравнений мнимой части:

ω₀=0

ω²₁ =8474561,432 , то ω₁ =2911,11

ω²₂ =4661021,92 , то ω₂ =2158,94

Таким образом, можно записать:

ω₀=0, ω₁ =198,679, ω₂ =1340,168, ω₃ =2158,94, ω₄ =2911,11

0<198,679<1340,168<2158,94<2911,11, т.е. ω₀ < ω₁ < ω₂ < ω₃ < ω₄

Условие перемежаемости корней выполняется, следовательно система устойчива.

Проверка:

ω₀=0, то >0

ω₂ =1340,168 , то <0

ω₄ =2911,11 , то >0

3.5 Критерий Найквиста

Разомкнутая САУ будет устойчивой, если кривая АФЧХ замкнутой системы, имеющей m полюсов в правой полуплоскости, при увеличении от 0 до не будет охватывать точку .

Для нашей САУ, передаточная функция замкнутой системы равна:

Выразим действительную и мнимую части и построим график:

3.6 D-разбиение

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Запишем передаточную функцию с учетом того, что W₂(p)= :

W(p)

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Характеристическое уравнение такой системы имеет вид:

Произведем замену p=jω, выделим действительную и мнимую части и построим график:

Re(к(jω))=

Im(к(jω))=

Область D(0), является областью подозрительной на устойчивость.

Проверка:

Пусть к=0,02, тогда характеристическое уравнение примет вид:

По Гурвицу определим устойчивость этой системы:

>0, все коэффициенты уравнения положительные, следовательно, система устойчива в области D(0).

3.7 Критерий Ляпунова

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Характеристическое уравнение системы:

Определим корни характеристического уравнения.

→

Так как все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то САУ будет устойчивой.

3.8 Критерий Шур-Кона

Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определители Шур - Кона с нечетными индексами были меньше 0, а – с четными индексами были больше 0.

Передаточная функция для замкнутого состояния САУ имеет вид:

_

W0(z)=W1(z)+W2(z)+W3(z)

α =0,06

T₀=1,2*10^-3

*

166667*

=

Определитель Шур - Кона имеет вид:

Составим и вычислим четные и нечетные определители Шур-Кона.

к=1

к=2

к=3

к=4

к=5

к=6

к=7

Так как четные определители больше 0, а нечетные меньше 0, то САУ будет устойчивой.