лабораторная работа / РГР1-FOX1
.DOC
БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ
ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ
КАФЕДРА УИТ
Расчетно-графическая работа №1
по дисциплине
Теория автоматического управления
Исследование устойчивости стационарных и нестационарных, линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического управления
Выполнил: ст. гр. УИТ-41
Удалов С.В.
Принял: доцент
Скоробогатова Т.Н. ______
“______” ___________2003
2003
СОДЕРЖАНИЕ
1. Исходные данные
2. Упрощение
3. Проверка устойчивости
3.1 Критерий Гурвица
3.2 Критерий Льенара-Шипара
3.3 Критерий Рауса
3.4 Критерий Михайлова
3.5 Критерий Найквиста
3.6 D-разбиение
3.7 Критерий Ляпунова
3.8 Критерий Шур-Кона
Вариант № 11
Цель работы: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно непрерывных САР. Доработать систему, получив ее устойчивой. Проверить устойчивость по критериям: 1.Гурвица, 2.Льенара – Шипара, 3.Рауса, 4.Михайлова, 5.Найквиста, 6.D-разбиения, 7.Ляпунова, 8.Шур - Кона.
1. Исходные данные
Исходная схема изображена на схеме 1
Схема 1
Передаточные функции звеньев:
W1(p)=;
W2(p)= ;
W3(p)=;
W4(p)=1,4147;
W5(p)= ;
2. Упрощение
Проведя преобразования получим:
W1(p)
W2(p)
W7(p)
W6(p)
Схема 2
W6(p)=W4(p)· W5(p)
W7(p)=
W8(p)= W2(p)· W6(p) W7(p)
W(p)=
Упростим:
W(p)==
3. Проверка устойчивости
3.1 Критерий Гурвица
Запишем характеристическое уравнение системы:
a0=1; a1=5; a2=454725;
Теперь можно составить главный определитель Гурвица
Теперь посчитаем определители:
1.
2.
Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. определители имеют один знак с a0=1
3.2 Критерий Льенара-Шипара
Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы при положительных коэффициентах характеристического уравнения все определители с четными (нечетными) индексами были положительными.
a0=1 >0
a1=5 >0
a2=454725>0
>0,
Все условия выполняются – система устойчива.
3.3 Критерий Рауса
Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак с а0, а при а0>0 были положительными. Таблица Рауса составляется из коэффициентов характеристического уравнения, которые располагаются в таблице по строкам и столбцам. В 1 строке записываются коэффициенты с четными индексами, а во второй – с нечетными. Все остальные клетки таблицы заполняются коэффициентами, которые вычисляются так:
k – номер столбца в таблице, i – номер строки.
Составим таблицу Рауса для нашей системы.
Номер строки – i. |
Номер столбца – k. |
||
k=1 |
k=2 |
||
- |
1 |
||
- |
2 |
||
3 |
Из таблицы видно, что все коэффициенты положительны, значит САУ – устойчива.
3.4 Критерий Михайлова
Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, проходила последовательно, нигде не обращаясь в 0, n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения, или устойчивость системы можно определить без построения кривой – на основе анализа вещественной и мнимой функций Михайлова, т.е. используя условие перемежаемости корней. Таким образом, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественная и мнимая функции Михайлова имели все действительные и перемежающиеся корни.
Запишем характеристическое уравнение системы и произведем замену p=jω:
Выделим реальную и мнимую части
Re(ω)= -
Im(ω)=
3.5 Критерий Найквиста
Разомкнутая САУ будет устойчивой, если кривая АФЧХ замкнутой системы, имеющей m полюсов в правой полуплоскости, при увеличении от 0 до не будет охватывать точку .
Для нашей САУ, передаточная функция замкнутой системы равна:
Выразим действительную и мнимую части и построим график:
Согласно критерию Найквиста система устойчива, т.к график не охватывает (-1, 0) и заканчивается на положительной полуоси.
3.6 D-разбиение
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
Запишем передаточную функцию с учетом того, что W2(p)=k:
W(p)
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
Характеристическое уравнение такой системы имеет вид:
Произведем замену p=jω и выразим к:
Выделим действительную и мнимую части и построим график:
Согласно графику область k > 0 является областью подозрительной на устойчивость.
Проверка:
Пусть к=20, тогда характеристическое уравнение примет вид:
По Гурвицу определим устойчивость этой системы:
1=1
=45499775.>0, все коэффициенты уравнения положительные, следовательно, система устойчива в области D(0).
3.7 Критерий Ляпунова
Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.
Характеристическое уравнение системы:
Определим корни характеристического уравнения.
Так как все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то САУ будет устойчивой.