БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УИТ

Расчетно-графическая работа №1

по дисциплине

Теория автоматического управления

Исследование устойчивости стационарных и нестационарных, линейных и непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического управления

Выполнил: ст. гр. УИТ-41

Удалов С.В.

Принял: доцент

Скоробогатова Т.Н. ______

“______” ___________2003

2003

СОДЕРЖАНИЕ

1. Исходные данные

2. Упрощение

3. Проверка устойчивости

3.1 Критерий Гурвица

3.2 Критерий Льенара-Шипара

3.3 Критерий Рауса

3.4 Критерий Михайлова

3.5 Критерий Найквиста

3.6 D-разбиение

3.7 Критерий Ляпунова

3.8 Критерий Шур-Кона

Вариант № 19

Цель работы: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно непрерывных САР. Доработать систему, получив ее устойчивой. Проверить устойчивость по критериям: 1.Гурвица, 2.Льенара – Шипара, 3.Рауса, 4.Михайлова, 5.Найквиста, 6.D-разбиения, 7.Ляпунова, 8.Шур - Кона.

1. Исходные данные

Исходная схема изображена на схеме 1

Схема 1

Передаточные функции звеньев:

W₁(p)=;

W₂(p)= ;

W₃(p)=;

W₄(p)=1,4147;

W₅(p)= ;

2. Упрощение

Проведя преобразования получим:

W₁(p)

W₂(p)

W₇(p)

W₆(p)

Схема 2

W₆(p)=W₄(p)· W₅(p)

W₇(p)=

W₈(p)= W₂(p)· W₆(p) W₇(p)

W(p)=

Упростим:

W(p)==

3. Проверка устойчивости

3.1 Критерий Гурвица

Запишем характеристическое уравнение системы:

a₀=1; a₁=5; a₂=454725;

Теперь можно составить главный определитель Гурвица

Теперь посчитаем определители:

1.

2.

Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. определители имеют один знак с a₀=1

3.2 Критерий Льенара-Шипара

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы при положительных коэффициентах характеристического уравнения все определители с четными (нечетными) индексами были положительными.

a₀=1 >0

a₁=5 >0

a₂=454725>0

>0,

Все условия выполняются – система устойчива.

3.3 Критерий Рауса

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак с а₀, а при а₀>0 были положительными. Таблица Рауса составляется из коэффициентов характеристического уравнения, которые располагаются в таблице по строкам и столбцам. В 1 строке записываются коэффициенты с четными индексами, а во второй – с нечетными. Все остальные клетки таблицы заполняются коэффициентами, которые вычисляются так:

k – номер столбца в таблице, i – номер строки.

Составим таблицу Рауса для нашей системы.

	Номер строки – i.	Номер столбца – k.
		k=1	k=2
-	1
-	2
	3

Из таблицы видно, что все коэффициенты положительны, значит САУ – устойчива.

3.4 Критерий Михайлова

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, проходила последовательно, нигде не обращаясь в 0, n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения, или устойчивость системы можно определить без построения кривой – на основе анализа вещественной и мнимой функций Михайлова, т.е. используя условие перемежаемости корней. Таким образом, чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественная и мнимая функции Михайлова имели все действительные и перемежающиеся корни.

Запишем характеристическое уравнение системы и произведем замену p=jω:

Выделим реальную и мнимую части

Re(ω)= -

Im(ω)=

3.5 Критерий Найквиста

Разомкнутая САУ будет устойчивой, если кривая АФЧХ замкнутой системы, имеющей m полюсов в правой полуплоскости, при увеличении от 0 до не будет охватывать точку .

Для нашей САУ, передаточная функция замкнутой системы равна:

Выразим действительную и мнимую части и построим график:

Согласно критерию Найквиста система устойчива, т.к график не охватывает (-1, 0) и заканчивается на положительной полуоси.

3.6 D-разбиение

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Запишем передаточную функцию с учетом того, что W₂(p)=k:

W(p)

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Характеристическое уравнение такой системы имеет вид:

Произведем замену p=jω, выделим действительную и мнимую части и построим график:

Re(к(jω))=

Im(к(jω))=

Согласно графику область k>-12000 является областью подозрительной на устойчивость.

Проверка:

Пусть к=-5000, тогда характеристическое уравнение примет вид:

По Гурвицу определим устойчивость этой системы:

>0, все коэффициенты уравнения положительные, следовательно, система устойчива в области D(0).

3.7 Критерий Ляпунова

Для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.

Характеристическое уравнение системы:

Определим корни характеристического уравнения.

Так как все корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то САУ будет устойчивой.