лабораторная работа / РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ

РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ

Исследование линейной части системы

Передаточная функция замкнутой системы:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Определим устойчивость системы регулирования по критерию Гурвица. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны. Определитель Гурвица составим по коэффициентам характеристического уравнения.

Все миноры определителя Гурвица положительны, следовательно, система устойчива.

Произведем обратное преобразование Лапласа и получим переходную функцию системы, построим график переходного процесса:

График переходного процесса

Определим графически прямые оценки качества системы.

Время переходного процесса t_П – это время регулирования системы.Определяет быстродействие системы.

t_П = 0,27 с.

Перерегулирование δ (максимальная динамическая ошибка):

 = 30 %

Колебательность n – число колебаний системы от момента воздействия на нее до перехода в установившееся состояние: n = 0

Заменим в передаточной функции замкнутой системы оператор р на jw

АЧХ системы

Определим косвенные оценки качества системы.

Показатель колебательности:

Резонансная частота ω_p – частота, при которой АЧХ достигает максимальное значение: рад/с

С учетом прямых и косвенных оценок качества можно сделать вывод, что качество управления достаточно высокое.

Проведение z-преобразования

Проведение z-преобразования осуществляется с помощью программы Matlab. Учитывая, что время дискретизации системы T₀=0,05с, получим передаточную функцию для дискретной системы:

Текст рабочей программы для получения передаточной функции дискретной системы:

>> Wpzam=Tf([1.71*10^-5 3.98*10^-4],[6.55*10^-8 2.73*10^-5 3.63*10^-3 0.114 1])

Transfer function:

1.71e-005 s + 0.000398

---------------------------------------------------------

6.55e-008 s^4 + 2.73e-005 s^3 + 0.00363 s^2 + 0.114 s + 1

>> Wzzam=c2d(Wpzam,0.05)

Transfer function:

0.0001917 z^3 - 2.973e-005 z^2 - 9.411e-006 z - 5.648e-010

----------------------------------------------------------

z^4 - 0.7525 z^3 + 0.1357 z^2 + 2.152e-005 z + 8.901e-010

Sampling time: 0.05

>> Step (Wpzam, Wzzam)

График непрерывного и дискретного переходных процессов

По графику видно, что дискретная система переходит в установившееся состояние за 0,35 с, что вполне удовлетворяет требованиям по быстродействию.

Определение устойчивости дискретной системы по расположению кор-

ней характеристического уравнения

Передаточная функция замкнутой дискретной системы имеет вид:

Характеристическое уравнение имеет вид:

_{Для устойчивости системы необходимо чтобы корни характеристического уравнения лежали внутри окружности с единичным радиусом с центром в точке (0;j0).}

_{Получим корни характеристического уравнения:}

Условие выполнено, система устойчива.

ПОСТРОЕНИЕ ЛАЧХ, ЛФЧХ СИСТЕМЫ И ИХ АНАЛИЗ

Z-преобразование разомкнутой системы

Передаточная функция разомкнутой системы:

Переход к дискретной передаточной функции осуществляется с помощью программы Matlab, по уравнению учитывая время дискретизации системы Т=0,05 с.

Текст рабочей программы:

>> Wpraz=Tf([4.98*10^-8],[6.59*10^-8 2.73*10^-5 3.63*10^-3 0.113 1])

Transfer function:

4.98e-008

---------------------------------------------------------

6.59e-008 s^4 + 2.73e-005 s^3 + 0.00363 s^2 + 0.113 s + 1

>> Wzraz=c2d(Wpraz,0.05)

Transfer function:

9.379e-009 z^3 + 9.593e-009 z^2 + 2.116e-010 z + 1.435e-014

-----------------------------------------------------------

z^4 - 0.7544 z^3 + 0.1396 z^2 + 2.251e-005 z + 1.01e-009

Sampling time: 0.05

>>

Передаточная функция разомкнутой дискретной системы:

Переход к псевдочастоте, построение ЛАЧХ, ЛФЧХ

Для построения ЛАЧХ необходимо перейти к псевдочастоте, производя ряд

замен.

Производим замену в выражении

Произведем замену в выражении на

где T₀=0,05c – период дискретизации системы.

Данная частота дискретизации выбрана исходя из требований точности регулирования.

Построение ЛАЧХ:

(52)

ЛАЧХ дискретной системы, построенная в программе

МАTHCAD

Построение ЛФЧХ:

ЛФЧХ дискретной системы, построенная в программе

МАTHCAD

Как видно запасы устойчивости системы составляют:

-запас устойчивости по амплитуде Gm=159 дБ;

-запас устойчивости по фазе бесконечен.

Это значит, что система находится в устойчивом состоянии и удовлетворяет требованиям по надежности и быстродействию. Можно прийти к выводу, что у данной системы нет необходимости в коррекции.