Интерпретация линейного динамического элемента с запаздыванием в математическую модель Экономическая модель

Из многообразия факторов, характеризующих функционирование экономической системы, значительный интерес представляет время запаздывания в процессе товаро-производ­ствен­ных отношений.

Абстрактная модель системы производства и потребления имеет следующий вид (рис. 6):

Рис. 6. Интерпретация динамического элемента с запаздыванием

Пусть предприятие Р производит продукцию, поступающую далее в виде потока товаров W на рынок сбыта R через склад S. На рынке сбыта товары превращаются в деньги D, которые затем поступают предприятию, замыкая цепь производства и потребления. Считается также, что предприятие может брать определенный кредит D₀ ( в денежном выражении ) у банка В.

Пусть, кроме того, на систему действует возмущение F, в основном через рынок сбыта R.

В этом случае можно ввести элемент временного запаздывания t (например, “транспортное” запаздывание между предприятием и рынком сбыта, которое играет существенную роль при исследовании устойчивости функционирования системы в целом — _тр).

Каждый из элементов рассматриваемой системы имеет сложную структуру и связи и осуществляет преобразование входного сигнала в выходной, т.е. является оператором пре­образования. Тогда, с учетом транспортного запаздывания, соотношения между потоками товаров на склад и рынок сбыта можно представить в виде:

R(t) = W(t – ). (53)

Аналогично можно ввести запаздывания, связанные с реализацией товаров на рынке сбыта и переводом прибыли на счет предприятия.

Необходимость учитывать возможные потери продукции на складе и при транспортировке приводит к введению коэффициента затухания k:

R(t) = W(t – t). (54)

Аналитическая реализация непрерывной линейной математической модели

При моделировании динамического элемента с запаздыванием необходимо провести моделирование ДЭ без запаздывания и моделирование запаздывания, как некоторой единой системы. Часто для идеального запаздывания используют передаточную функцию:

, где . (55)

Моделирование запаздывания может осуществляться с помощью предельных переходов, степенных и специальных рядов.

Предельные переходы:

а)

б)

Степенной ряд:

Специальный ряд:

ряд Падэ:

Если n = m = 1, то в области оригиналов получаем дифференциальное уравнение первого порядка, если же n = m = 2, то получаем дифференциальное уравнение второго порядка.

Анализ поведения динамического элемента

Используем в качестве математической модели запаздывания разложение в ряд Падэ.

В случае n = m = 0 имеем вырожденный случай, когда никакого запаздывания нет, т.е. W (p) = 1. В случае n = m = 1 имеем

Т.к. Z = - pt , то

Переходя к оригиналам и полагая y(0) = 0 и x(0) = 0, имеем

.

Поскольку x(t) = Сonst = k, то и, следовательно, данное уравнение преобразуется к следующему виду:

или .

Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Его решение ищем в виде , где — решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а — частное решение данного уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Нетрудно видеть, что решение y = k является частным решением данного уравнения. Таким образом,

.

Для определения значения постоянной С воспользуемся тем обстоятельством, что y(0) = 0. Следовательно, y(0) = C + k = 0 и C = – k. Таким образом, окончательно имеем

.

Это уравнение представляет собой уравнение апериоди­чес­кого сходящегося процесса.

В случае n = m = 2 порядок изложения аналитической реализации модели аналогичен. Таким образом, имеем

,

.

Полагаем, что . Переходя к ори­гиналам, имеем:

.

Т.к. x(t) = Сonst = k, то

.

Характеристическое уравнение имеет вид :

т.к. , то имеем систему:

Полученное уравнение представляет собой уравнение периодического сходящегося процесса.

Соответствующие семейства кривых, отражающие влияние параметров на форму решения, представлены в графическом приложении 3.

Практически в реальных физических системах возможна реализация условий функционирования, соответствующих неотрицательным значениям параметров математической модели. Таким образом, на математическую модель накладываются естественные ограничения:

1. функция может являться периодической сходящейся;

2. функция может являться апериодической сходящейся.