Анализ поведения динамического элемента

В зависимости от значений параметров модели определяется форма решения на фазовой плоскости:

I. Действительные корни

1. :

1.1. — неустойчивый узел;

1.2. — ассимптотически устойчивый узел;

1.3. — неустойчивое седло.

2. :

2.1. — ассимптотически устойчивый вырожденный узел;

2.2. — ассимптотически неустойчивый вырожденный узел.

II. Комплексные корни .

1. — ассимптотически устойчивый фокус;

2. — неустойчивый фокус;

3. — устойчивый центр.

Соответствующие семейства кривых, отражающие влияние параметров на форму решения, представлены в графическом приложении 2.

Практически в реальных физических системах возможна реализация условий функционирования, соответствующих неотрицательным значениям параметра . Таким образом, на математическую модель накладываются естественные ограничения в фазовой плоскости:

1. точка покоя является неустойчивым фокусом;

2. точка покоя является ассимптотически неустойчивым вырожденным узлом;

3. точка покоя является неустойчивым узлом.

Задание на лабораторную работу

Создать нелинейную непрерывную математическую модель динамического элемента с исполь­зо­ва­нием компьютера.

Исследовать поведение модели при различных значениях параметра . Сравнить результаты компьютерного моделирования с результатами, полученными при теоре­ти­чес­ком решении задачи.

Для каждого случая, рассмотренного выше при анализе поведения динамического элемента, в отчете необходимо пред­ставить графики:

1. соответствующего решения — y(t);

2. фазовой траектории решения на фазовой плоскости Oyy’.

Лабораторная работа N№ 3

Моделирование динамического элемента с запаздыванием

Теоретическое введение

См. теоретическое введение к лабораторной работе №1.

Интерпретация концептуальной модели в математическое описание динамического элемента с запаздыванием

Математическое описание линейного динамического элемента с запаздыванием задается в общем случае линейным дифференциальным уравнением n-го порядка :

, (44)

где:	k	—	коэффициент затухания,
	t	—	параметр, характеризующий время запаз­дыва­ния,
	n	—	число слагаемых уравнения, задаваемое допол­ни­тельными условиями.

Объект представляет собой систему, подвергающуюся воздействию внешних факторов и вырабатывающую на них соответствующие отклики, причем запаздывание может быть учтено разбиением его на две части (рис. 5).

Рис. 5. Моделируемый объект с запаздыванием

При этом: ИЭЗ — идеальный элемент запаздывания, РЧЭ — реальная часть элемента,

. (45)

Уравнение функционирования идеальной части имеет вид:

y(t) = x(t–t). (46)

Реальная часть элемента характеризуется коэффициентом затухания k, который представляет собой постоянное возмущение, действующее на динамический элемент.

Вообще говоря, любой элемент определенной структуры осуществляет преобразование входного сигнала в выходной, т.е. является оператором преобразования и имеет передаточную функцию. Передаточная функция представляет некоторый линейный оператор, который преобразует внешнюю нагрузку на входе в нормальную реакцию на выходе.

Передаточная функция представляется отношением:

, (47)

где Y(p) и X(p) — соответственно изображения функций y(t) и x(t) ( преобразование Лапласа ).

Для идеального запаздывания передаточная функция равна:

. (48)

Таким образом, запаздывание в динамическом элементе моделируется в пространстве изображений, а не оригиналов.

Дифференциальное уравнение первого (28) и второго (29) порядков, описывающие поведение динамического элемента без запаздывания, с учетом запаздывания примут вид уравнений (30) и (31) соответственно.

, (49)

, (50)

, (51)

. (52)

В уравнениях (30) и (31) t ³ t .