Аналитическая реализация непрерывной линейной математической модели

Решение ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

(32)

в общем случае представляется в виде , где — общее решение соответствующего ЛОДУ, — какое-либо частное решение ЛНДУ. В силу простоты функции

F(t) = B = Const для имеем:

= Const Þ .

Таким образом, общее решение ЛНДУ:

.

Решение соответствующего ЛОДУ могут быть определены как:

в зависимости от решений характеристического уравнения вида:

,

где — дискриминант характеристического уравнения. Отсюда,

.

Таким образом, параметры решения есть

Однако и знак дискриминанта определяет лишь вид решения.

Неизвестные коэффициенты С₁ и С₂ определяются из условий задачи Коши:

и имеют вид:

Переходя от абстрактной математической модели к рассмотрению механической и электрической систем, можно определить соответствия параметров решения:

— для пружинного маятника;

— для электрического контура.

Анализ поведения динамического элемента

В зависимости от значений параметров модели определяется форма решения:

I. При D > 0:

1. , — апериодическое расходящееся;

2. , — апериодическое сходящееся.

II. При D < 0:

1. — гармоническое;

2. — периодическое сходящееся;

3. — периодическое расходящееся.

III. При D = 0:

1. — сходящееся;

2. — расходящееся.

Соответствующие семейства кривых, отражающие влияние параметров на форму решения, представлены в графическом приложении 1.

Практически в реальных физических системах возможна реализация условий функционирования, соответствующих неотрицательным значениям параметров математической модели. Таким образом, на математическую модель накладываются естественные ограничения:

1. функция может являться периодической сходящейся;

2. функция может являться апериодической сходящейся.

Задание на лабораторную работу

Создать линейную непрерывную математическую модель динамического элемента с исполь­зо­ва­нием компьютера.

Исследовать поведение модели при различных значениях параметров A₀, A₁, A₂. Сравнить результаты компьютерного моделирования с результатами, полученными при теоре­ти­чес­ком решении задачи.

Для каждого случая, рассмотренного выше при анализе поведения динамического элемента, в отчете необходимо пред­ставить графики:

1. соответствующего решения — y(t);

2. фазовой траектории решения на фазовой плоскости Oyy’.

Лабораторная работа N№ 2

Нелинейная непрерывная математическая модель элемента

Теоретическое введение

См. теоретическое введение к лабораторной работе №1.

Интерпретация концептуальной модели в математическое описание динамического элемента

Нелинейный динамический элемент имеет математическое описание, задаваемое нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка:

. (33)

Первый член (m) отображает инерционные свойства объекта моделирования и характеризует запас кинетической энергии системы. Второй член (j) отображает фрикционные силы объекта (силы трения), а третий член (Y(y)) — упругие силы.

Интерпретация нелинейного динамического элемента в математическую модель

Математическая модель функционирования нелинейного динамического элемента реализуется на основе уравнения Ван дер Поля:

, (34)

, (35)

где m — малая положительная величина.

Остановимся на первом варианте формулировки. В случае, если |y| < 1, то , и тогда в системе действует отрицательное вязкое трение, а, следовательно, возрастает амплитуда. В случае, если |y| > 1, то , и тогда в системе действует положительное вязкое трение. При этом при больших амплитудах происходит затухание, а при малых — возрастание. В случае, если |y| = 1, то вязкое трение в системе отсутствует, следовательно, амплитуда постоянна и имеет место периодический процесс.