Интерпретация концептуальной модели в математическое описание динамического элемента

Математическое описание системного элемента, задаваемое линейным дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью, имеет вид:

, (28)

где X, Y и t выполняют роль параметров и T из формулы (1), — функция преобразования F, — функциональные параметры.

Функциональные параметры могут быть:

1. постоянными — = Const;

2. переменными — . Следует отметить, что коэффициент характеризует упругие свойства объекта, отображает фрикционные силы объекта (силы трения), а коэффициент отображает инерционные свойства объекта моделирования.

Объект представляет собой систему, подвергающуюся воздействию внешних факторов и вырабатывающую на них соответствующие отклики (рис. 2).

Рис. 2. Объект моделирования

При этом .

Интерпретация динамического элемента в математическую модель Механическая модель

Примером механической системы, в которой могут происходить вынужденные колебания, может служить пружинный маятник — груз массы m, подвешенный на абсолютно упругой пружине (k — коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины).

На маятник массы m, совершающий прямолинейные колебания вдоль оси под влиянием силы упругости пружины F = –kx , действуют также сила сопротивления F = –bv и внешняя сила, вызывающая его вынужденные механические колебания F(t) (где v — скорость маятника, а b = Сonst > 0 — коэффициент сопротивления).

Второй закон Ньютона в данном случае примет вид:

. (29)

Электрическая модель

Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электрические колебания, служит простейший колебательный контур (рис. 3), состоящий из конденсатора С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивности L. Если линейные размеры контура l не слишком велики (l << c/n, где с= м/c — скорость света в вакууме, n — частота колебаний в контуре), то можно считать, что в каждый момент времени t сила тока I во всех частях контура одинакова.

Рис. 3. Электрический колебательный контур

Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре в него нужно включить источник электрической энергии, ЭДС Е(t) которого изменяется с течением времени.

По закону Ома для участка цепи 1–R–L–2 квазистационарного тока, возникающего в контуре при вынужденных колебаниях,

. (30)

Здесь — разность потенциалов обкладок конденсатора, q — его заряд, а внутреннее электрическое сопротивление источника ЭДС считается пренебрежимо малым по сравнению с R.

Из закона сохранения электрического заряда следует, что . Поэтому дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре можно представить в форме:

. (31)

Система аналогий

Электрические модели в виде цепей из пассивных элементов могут быть построены по двум системам электромеханических аналогий. В первой системе энергия магнитного поля соответствует кинетической энергии, а энергия электрического поля — потенциальной. Во второй системе, наоборот, энергия магнитного поля соответствует потенциальной энергии, а энергия электрического поля — кинетической.

Каждому уравнению баланса сил динамической системы в модели, составленной по первой системе аналогий, соответствует уравнение баланса напряжений определенного замкнутого контура системы, а в модели по второй системе аналогий — уравнение баланса токов определенного узла схемы.

Очевидно, что представленные модели удовлетворяют первой системе аналогий и для них возможно введение таблицы соответствий, по которой осуществляются двусторонние переходы между предметными областями:

Механическая система	Электрическая система
Обобщенная координата x	Заряд q
Обобщенная скорость v	Ток I
Обобщенная сила F	Напряжение Е
Обобщенная масса m	Индуктивность L
Податливость 1/k	Емкость С
Сопротивление трения	Омическое сопротивление R
Кинетическая энергия	Магнитная энергия
Потенциальная энергия	Электрическая энергия