лабораторная работа / Контрольная работа по ТАУ

Контрольная работа по ТАУ

Вариант№3

1. Устойчивость САУ. Алгебраические критерии устойчивости.

Устойчивостью называется свойство САУ возвращаться к последующему

установившемуся состоянию после приложения возмущающего воздействия,

которое вывело его из состояния равновесия.

К алгебраическим критериям относят критерий Гурвица: все корни

характеристического уравнения будут иметь отрицательные действительные

части тогда и только тогда, когда все диагональные определители матрицы

уравнения САУ положительны. Наличие отрицательных действительных

частей корней характеристического уравнения является также условием

устойчивости.

2. По заданной передаточной функции замкнутой САУ исследовать

устойчивость системы, используя частотный критерий Михайлова:

.

Решение:

Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты от нуля до бесконечности проходил последовательно n квадрантов, где n - порядок системы, нигде не обращаясь в ноль. Направление прохождения годографа Михайлова должно быть положительно.

Записываем характеристический полином замкнутой системы

.

Производим замену S = jw, полученный полином носит название функции Михайлова.

Составим таблицу для построения годографа Михайлова:

Таблица 1.1

w	X(w)	Y(w)
0	10	0
0.2	9.94	0.79
0.5	9.68	1.98
2.5	0.23	8.12
2.52	0.04	8.16
2.53	0.05	8.17
2.54	- 0.14	8.19
2.6	- 0.73	8.29
5.57	-76.9	1.54
5.77	-87.2	0
5.8	- 88.6	- 0.21
5.9	- 94	-1
6	- 99.8	-1.92
7	- 171.3	- 13
∞	-∞	-∞

По данным таблицы 1.1 построим годограф Михайлова(см. рис.1.1).

Из графика 1.1 и таблицы 1.1 видно, что годограф не проходит последовательно четыре квадранта в положительном направлении (против часовой стрелки) при увеличении частоты от нуля до бесконечности, не начинаясь на вещественной положительной полуоси, следовательно, данная замкнутая система неустойчива.

Рис.1.1

3. Упростить данную структурную схему и получить эквивалентную передаточную функцию замкнутой системы. Записать передаточную функцию с использованием числовых значений и параметров.

Дано:

Рис. 1.2. Структурная схема

Решение:

1. Запишем отдельные соединения звеньев согласно правилам эквивалентного преобразования:

Эквивалентная передаточная функция для замкнутой системы будет иметь вид:

Подставим числовые значения в формулу для эквивалентной передаточной функции:

.

Упрощённая структурная схема замкнутой системы из составных звеньев и будет иметь вид на рис.1.3.

Рис.1.3. Упрощённая структурная схема

Задача4. Для указанной схемы построить математическую модель, определить передаточную функцию, определить аналитически и графически следующие характеристики:

- переходную и импульсную;

- амплитудно-частотную;

- фазочастотную;

- амплитудно-фазовую;

- логарифмическую амплитудно-частотную.

Дано:

Рис.1.4

Решение:

1) Запишем уравнение зависимостей между током и

напряжением на основании и 1−го и 2−го закона Кирхгофа:

2) Перейдём к операторному изображению:

3) Решим полученную систему уравнений относительно выходного U2 и

входного U1 воздействия и подставим уравнение (1) в уравнение (2):

4. Отсюда выразим и подставим в уравнение (2):

4. Выразим и подставим в полученное уравнение:

4. Найдём передаточную функцию схемы:

4. Подставим числовые значения в уравнение функции:

Разделим числитель и знаменатель функции на 2,5:

Данное звено является апериодическим звеном первого порядка по формуле:

4. С помощью операторного метода решения дифференциального уравнения найдём переходную функцию при единичном ступенчатом воздействии:

4. Составим характеристическое уравнение и найдём его корни:

Найдём переходную характеристику схемы. Для этого применим операционное исчисление:

4. Найдём импульсную характеристику:

4. Построим графики полученных характеристик.

Рис.1.5. Переходная характеристика схемы

4. Найдём аналитические выражения для комплексного коэффициента передачи, амплитудно-частотную, фазочастотную, амплитудно-фазовую, логарифмическую амплитудно-частотную характеристики, их выражения и построим их графики.

Для нахождения комплексного коэффициента передачи оператор p заменим на jw; затем избавимся от иррацинальности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряжённое число:

Рис 1.6. Импульсная характеристика схемы

Получили выражения для мнимой и действительной части:

Построим годограф Михайлова:

Рис. 1.7. Амплитудная фазочастотная характеристика(АФЧХ)

Найдём выражение для амплитудно-частотной характеристики согласно формуле:

Построим график для амплитудно-частотной характеристики(рис. 1.8).

Рис.1.8. Амплитудно-частотная характеристика

Найдём выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики согласно формуле:

.

Найдём выражение для фазочастотной характеристики:

Рис. 1.8. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Рис. 1.9. Фазочастотная характеристика