лабораторная работа / chastotnyy_analiz_signalov_i_dinamicheskie_i_chastotnye_hara

Исходные данные:

R=10 Ом, L=0.1 Гн, С=100 мкФ

Импульс в виде зависимости U(t):

Задание:

1. Разложить в ряд Фурье (Mathcad), получить графики и построить полученные зависимости в EWB используя гармонические источники напряжения (учитывая 5 членов разложения).

2. Для заданной схемы, используя Mathcad рассчитать переходный процесс при воздействии U(t) методом пространства состояний, а) Получить матрицу состояния A, б) Вектор правых частей B; г) Построить графические зависимости. Собрать схему в EWB и получить зависимости (сравнить с зависимостями полученными в Mathcad).

3. Для приведенной схемы, используя Mathcad получить через матрицу состояния АЧХ и ФЧХ, построить графические зависимости.

4. Используя АЧХ и ФЧХ получить зависимость выходной величины в виде ряда Фурье. Построить графическую зависимость и сравнить с выходной величиной полученной в результате решения переходного процесса.

5. Написать выводы по проделанной работе.

Функция f(t) состоит из двух прямых. Уравнение прямой: f(t)=at+b. Зная две точки (Т/2;1) и (Т;0), решаем систему уравнений.

Найденные значения коэффициентов подставим в функцию f(t). Значение периода Т = 0.05 с, значение t изменяется от 0 до 2Т с шагом 0.01Т

Разложение в ряд Фурье

Любая функция времени может быть представлена в виде взвешенной суммы гармонических функций

Коэффициенты разложения определяются по формулам

Формулы определения амплитуды и фазового сдвига

Значение частоты: 1/Т=20 Гц.

Функция F(t) с учетом фазового сдвига

График зависимости функций f(t), F(t), F1(t) от времени t:

Совпадение всех трех графиков друг с другом показывает, что при разложении сигнала ряд Фурье искажения импульса не произошло.

Графики разложения гармоник и значения фазы

Проверка в программе Workbench сигнала воздействия

В программе Workbench была собрана схема внешнего источника питания. Схема состоит из:

- трех источников переменного напряжения, т.к. значение 2-ой и 4-ой гармоник равен нулю. Параметры источников были записаны в соответствии с данными, вычисленными выше в программе Matcad;

- усилителя «К», где коэффициент усиления равен отношению действительного значения напряжения к амплитудному – 1/=0,707;

- источника постоянного напряжения, значение которого равно 0,5 В.

Изображение сигнала в форме треугольника совпадает с изображением зависимостей, полученными в программе Matcad.

Работа с матрицей состояния и решение дифференциального уравнения

Составляем для данной схемы по законам Кирхгофа дифференциальные уравнения. Для решения дифференциальных уравнений используем метод переменных состояния. С помощью решающих функций программно-интегрирующей среды Mathcad, такие как Given и Find, формируем матрицы состояний

Определяем собственные числа матрицы состояния A_ => 

Определяем корни характеристического уравнения через импеданс схемы Z(p)

Корни характеристического уравнения полностью совпадают с собственными числами матрицы состояния А_. Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния составлена правильно.

Определяем принужденные составляющие переходного процесса, используя метод Рунге-Кутта.

Получаем следующие графические зависимости для напряжения на емкости и на резисторе

Решение переходного процесса через передаточную функцию

При наличии матрицы состояния и правых частей получаем передаточную функцию и находим корни:

Выражение для амплитудно-фазовой характеристики можно получить подстановкой в выражение для передаточной функции p = jω.

Графики АЧХ и ФЧХ:

Получение выходной зависимости на резисторе и конденсаторе в виде ряда Фурье, используя АЧХ и ФЧХ:

Построение графиков зависимостей и сравнение с результатом решения переходного процесса:

Моделирование переходных процессов в Electronics WorkBench

Первоначально собираем исходную схему в EWB. Для регистрации напряжения (разность потенциалов) на резисторе используем сумматор напряжений (Three way voltage summer). С помощью встроенной функции анализа переходных процессов (Analysis/Transient) определяем напряжение U_R(t). Графическая зависимость показана на рисунке.

Вывод: В ходе данной лабораторной работы были рассмотрены способы решения переходных процессов в программе Matcad в пространстве состояния и с помощью передаточной функции. Были построены графики зависимостей, которые были подтверждены графиками, полученными в схемотехнической программе Workbench. При решении одной и той же задачи, анализируя полученные результаты, можно сделать заключение, что выходные значения в момент первого периода (Т=0,05 с) имеют небольшое расхождение, но после момента времени Т сигналы становятся полностью идентичными.

11