Диапазоны изменения параметров, в которых сар сохраняет устойчивость

При проектировании, а также в процессе эксплуатации САР важно знать, в каких пределах можно изменять параметры САР, сохраняя при этом ее устойчивость, или, выдвигая более жесткое требование, не ухудшая качество регулирования ниже некоторого предела.

Решение этой задачи наглядно представляется на т.н. плоскости параметра (параметров). На этой плоскости графические области отображают множество значений параметра (-ов), при которых система сохраняет устойчивость.

Области устойчивости в плоскости коэффициентов характеристического полинома

Например, для звена Вышнеградского, имеющего передаточную функцию, в котором приведенные коэффициенты А₁ и А₂ можно рассматривать как параметры, от соотношения которых зависит устойчивость системы, область устойчивости определяется критерием Гурвица в виде: А₁ · А₂ > 1

Одной из самых простых моделей системы третьего порядка является замкнутая САР с тремя апериодическими звеньями в контуре. Ее области устойчивости могут быть показаны на плоскости относительных значений постоянных времени

Области устойчивости в плоскости коэффициента усиления контура. Метод d-разбиения

Этот метод позволяет строить области устойчивого состояния САР в плоскости ее одного комплексного или двух действительных параметров.

Для модели рис. 2.13, состоящей из контура, содержащего три апериодических звена, определим диапазон изменения коэффициента контура, в котором САР сохраняет устойчивость. Передаточная функция замкнутой САР имеет вид

Если САР находится границе устойчивости, то корни (хотя бы один) располагаются на мнимой оси и, следовательно, для критического значения коэффициента усиления контура можно записать:

Уравнение описывает кривую на комплексной плоскости, которая определяет критические значения коэффициента усиления контура, когда САР находится на границе устойчивости

Неустойчивость сар. Физика явления

Годограф ККП разомкнутого контура охватывает точку с координатами (-1, 0j), что согласуется с видом переходной характеристики: САР не устойчива. Отметим, что для данного примера передаточная функция контура подобрана так, что усиления на частотах ω_π = 14.8 рад/сек и ω_2π = 46.47 рад/сек примерно равны между собой и составляют 1.2 – 1.3 раза.

Возникновение на выходе неустойчивой САР колебаний со все быстрее возрастающей амплитудой, и частотой, примерно равной частоте ω_π, обусловлено тем, что возвращаемая обратной связью и инвертируемая сумматором синусоида частоты ω_π совпадает по фазе со входным сигналом звена прямой связи САР. Действительно, синусоида частоты ω_π задерживается по фазе в звене прямой связи на угол – 180⁰, да еще инвертирование в сумматоре следует рассматривать как дополнительную задержку на – 180⁰, что дает в итоге задержку на 360⁰. Кроме того, проходя очередной раз контур, синусоида усиливается звеном прямой связи (в рассматриваемом примере в 1.2 раза). Этот своеобразный резонанс с подкачкой энергии в звене прямой связи и ведет к возрастанию амплитуды колебаний частоты ω_π, по экспоненциальному закону. Проиллюстрируем это.

Таким образом, неустойчивость САР проявляется в том, что на ее выходе под действием однократного возмущения на входе, специально поданного или спонтанного, возникают и развиваются колебания, амплитуда которых растет с течением времени все быстрее. Физический механизм развития колебаний может рассматриваться как резонанс, при котором в процессе этих колебаний добавляется энергия большая, чем теряется на трение. Это эквивалентно колебательному звену с отрицательным декрементом затухания

Из проведенного рассмотрения следует, что для возникновения в контуре САР колебаний с возрастающей амплитудой требуется, чтобы хотя бы на одной частоте были выполнены условия:

• - контурное усиление превышает 1;

• - совокупная фазовая задержка в контуре с учетом инвертирования сигнала в сумматоре кратна 360⁰.

В устойчивой САР эти условия одновременно не выполняются: контурное усиление на частоте ω_π меньше единицы, что и приводит к затуханию колебаний, если они возникают в переходном процессе.

Устойчивость или неустойчивость САР определяются ее внутренними свойствами, свойствами ее контура, а значит, элементов контура, и не зависят ни от типа и свойств элементов САР, находящихся вне контура, ни от вида сигналов, подаваемых на САР.

Степень устойчивости устойчивой САР проявляется только в переходных режимах ее работы, когда САР не успевает отслеживать быстро изменяющееся воздействие, и, может быть, только косвенно сказывается на установившемся режиме работы САР.