Цели и задачи работы

Техническая цель работы: изучение методов анализа устойчивости САР и экспериментальная проверка справедливости критериев устойчивости и правильности работы программ моделирования

В результате выполнения работы следует сделать выводы о том, какие методы анализа и в каких случаях предпочтительнее использовать.

Польза от исследования устойчивости САР состоит в том, что, определив степень устойчивости проектируемой или модернизируемой САР, можно выработать меры и определить средства для оптимизации ее структуры и параметров, сделать САР работоспособной и полезной.

Методическая цель работы: приобретение и закрепление навыков исследования устойчивости линейных систем и их фрагментов, а также совершенствование приемов работы в программах Vissim, ПК "МВТУ" и Маткад.

Работа, как и предыдущие, проводится в интерактивном режиме и позволяет не только экспериментально проверить теорию, но и приобрести навыки анализа устойчивости САР, используя Vissim, ПК "МВТУ" и Маткад. как аналитические инструменты.

Методические указания по выполнению работы, как и предыдущие, построены по принципу "делай как я", но студент выполняет задания для своих значений параметров.

Vissim или ПК "МВТУ" плюс Mathcad это удачная связка для решения задач, покрывающая потребности ТАУ в аналитических инструментах и способная на равных конкурировать с солидным, но значительно более громоздким Матлабом. Дополнение этого набора Paint'ом, Блокнотом и Word'ом исчерпывает минимальный набор компьютерных инструментов для проведения исследований и оформления отчетов в курсе ТАУ.

Определение и условие устойчивости сар

Устойчивость - косвенная характеристика качества САР. Устойчивая САР может быть полезна, а может быть и бесполезна. Неустойчивая САР - вредна однозначно. Степень устойчивости САР характеризуется численными значениями - запасами устойчивости, которые и используются для косвенной характеристики качества САР.

По Ляпунову система устойчива, если по окончании воздействия она возвращается в исходное состояние [1]. Весовая функция системы, т.е. ее реакция на дельта-функцию δ(t) Дирака, в соответствии с приведенным определением может характеризовать устойчивость системы.

Линейные системы, содержащие контур из устойчивых звеньев могут быть неустойчивыми. С физической точки зрения именно наличие контура обратной связи является необходимым (но не достаточным) условием неустойчивости системы. Поэтому наличие в системе контура, например местной или главной обратной связи, служит структурным признаком потенциальной неустойчивости САР. В системах управления неустойчивость, как правило, является недопустимой, вредной. В системах генерации (энергетических мощностей, радиотехнических сигналов и т.п.) неустойчивость напротив, необходима.

Из определения устойчивости Ляпунова вытекает основное условие устойчивости САР: все корни характеристического полинома (знаменателя передаточной функции) САР должны иметь отрицательную действительную часть, т.е. располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости

Критерии устойчивости САР

Критерии устойчивости это правила, в соответствии с которыми можно судить об устойчивости САР, не вычисляя непосредственно корней ее характеристического полинома.

Значимость критериев Гурвица и Михайлова в настоящее время, когда широко применяются программы объектно-ориентированного моделирования (Vissim, ПК «МВТУ», Simulink из пакета MathLab и др.), в некоторой мере уменьшилась. Ранее эти критерии использовались, в частности, для оценки устойчивости разомкнутого контура с целью определения и обеспечения выполнения условия практического применения критерия Найквиста (см. выше). Тем не менее, и сейчас знание критериев Гурвица, Воронова и Михайлова не повредит, их можно использовать для инженерных экспресс - оценок устойчивости [2].

Критерий Гурвица сформулируем для системы третьего порядка. Это самая простая система с положительными коэффициентами характеристического полинома, способная терять устойчивость. В то же время, на примере этой системы можно проследить все основные свойства линейной САР общего вида. Пусть передаточная функция САР имеет вид:

Степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя (характеристического полинома САР) – это условие физической реализуемости САР. Все коэффициенты знаменателя должны быть положительными (правило Стодолы [3]) – это практически удобное необходимое, но не достаточное условие устойчивости САР.

В соответствии с критерием Гурвица САР (2.1) устойчива, если выполняется соотношение a₁· a₂ > a₀, что легко проверяется даже в уме. Отметим, что при а₀ = 0 в (2.1) получается система второго порядка и из критерия Гурвица следует, что она устойчива при любом соотношении положительных коэффициентов характеристического полинома. Но система второго порядка это просто колебательное звено, переходная функция которого при декременте затухания, большем нуля, стремится достичь некоторого постоянного уровня, что согласуется с результатом, даваемым критерием Гурвица.

Критерий устойчивости Найквиста:

Замкнутая САР устойчива тогда и только тогда, когда годограф комплексного коэффициента передачи (ККП) ее разомкнутого контура начинается на действительной оси комплексной плоскости и при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, 0j).

Приведенная формулировка критерия Найквиста справедлива только для случая, когда разомкнутая САР устойчива. Проверить факт устойчивости разомкнутого контура можно с помощью критериев Михайлова или Гурвица, а также прямым моделированием в Vissim’е разомкнутого контура и определением факта устойчивости по переходной характеристике.

Но если имеется годограф комплексного коэффициента передачи, то об устойчивости разомкнутого контура проще всего судить по его поведению в окрестностях начала координат, т.е. при частотах, стремящихся к бесконечности. В соответствии с обобщенным инверсным критерием устойчивости Михайлова [6]: годограф ККП устойчивого разомкнутого контура приходит в начало координат по часовой стрелке, в то время как годограф неустойчивого разомкнутого контура приходит против часовой стрелки.

Логарифмический вариант критерия Найквиста

Поскольку ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутого контура содержат ту же самую информацию о системе, что и годограф ККП, то по ним также можно судить об устойчивости САР. Зачастую это значительно удобнее.

Замкнутая САР устойчива тогда и только тогда, когда частота среза ω_ср ЛАЧХ разомкнутого контура меньше частоты ω_π (читается омега-пи) ЛФЧХ

Косвенные показатели качества САР

Достоинство критерия Найквиста состоит в том, что, используя его аналитические инструменты – ЛАЧХ и ЛФЧХ или годограф ККП разомкнутого контура можно не только установить факт устойчивости или неустойчивости замкнутой САР, но и количественно оценить степень устойчивости. Эта количественная оценка косвенно характеризует и качество САР. Более того, анализируя названные частотные характеристики можно выработать меры по стабилизации и оптимизации параметров САР. Это и определяет непреходящую значимость критерия устойчивости Найквиста.

Запасы устойчивости по амплитуде (β) и фазе (γ) это численные параметры, характеризующие степень устойчивости замкнутой САР.

Запас устойчивости по амплитуде (ЗУА) β показывает во сколько раз (или, что то же самое, на сколько децибел) следует увеличить коэффициент усиления контура САР, с тем, чтобы перевести ее на границу устойчивости. Т.о. если усиление контура устойчивой САР увеличится по каким-либо причинам меньше, чем на запас устойчивости, то САР сохранит устойчивость.

Запас устойчивости по фазе показывает, какую дополнительную фазу на частоте ω_ср (см. рис. 2.8) следует внести в контур с тем, чтобы САР оказалась на границе устойчивости.

Запасы устойчивости необходимы для того, чтобы качество САР оставалось удовлетворительным даже в том случае, когда при моделировании, как это и бывает, не были учтены некоторые малозначительные элементы реальной системы. Кроме того, запасы устойчивости необходимы и для сохранения удовлетворительного качества САР при влиянии на нее внешних факторов, которые не всегда можно учесть, например, изменения температуры и т.п.