-
Неоднородное дифференциальное уравнение II порядка
с постоянными коэффициентами
Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (17.1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (17.2) и частного решения исходного неоднородного уравнения.
Вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения (17.1). Рассмотрим некоторые частные случаи.
-
Правая часть уравнения
является многочленом степени
,
т.е. имеет вид
.
В этом случае частное решение уравнения (17.1) следует искать в виде
|
|
(17.8) |
,
т.е.
в виде произведения многочлена той же
степени
на
.
Коэффициенты многочлена
находят
методом неопределенных коэффициентов
(см. п. 12.5). Показатель степени
,
если
;
,
если
и
;
,
если
.
Другими словами, показатель степени
равен кратности значения
как
корня характеристического уравнения
(17.4).
Пример
17.7. Решить уравнение
.
Найдем общее
решение однородного дифференциального
уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет два различных действительных
корня
и
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения имеет вид
.
Найдем частное
решение неоднородного дифференциального
уравнения. Правая часть уравнения
является многочленом первой степени,
,
следовательно,
и частное решение следует искать в виде
.
Найдем значения
коэффициентов
и
.
Дифференцируя частное решение, получаем
,
.
Так как
– решение исходного уравнения, то
значения коэффициентов
и
должны
быть такими, что выполняется
.
Подставляем
и
в исходное уравнение, получаем равенство
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых
степенях переменной
и получаем систему уравнений для
определения
и
:
Решая эту систему,
находим, что
,
т.е. искомое частное решение имеет вид
.
Общее решение
исходного неоднородного уравнения
имеет вид:
.
-
Правая часть уравнения имеет вид
,
где
и
– некоторые действительные числа.
В этом случае частное решение уравнения (17.1) следует искать в виде
|
|
(17.9) |
,
где показатель
степени
равен кратности значения
как корня характеристического
уравнения (17.4). Коэффициент
находят методом неопределенных
коэффициентов.
Пример
17.8. Решить уравнение
.
Найдем общее
решение однородного дифференциального
уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет два различных действительных
корня
и
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения имеет вид
.
Найдем частное
решение неоднородного дифференциального
уравнения. В данном примере
;
поскольку такого значения нет среди
корней характеристического уравнения,
то
.
Частное решение следует искать в виде
.
Найдем значение
коэффициента
.
Дифференцируя частное решение, получаем
,
.
Подставляем
и
в исходное уравнение, получаем равенство
,
или
.
Приравниваем
коэффициенты при множителе
,
получаем
,
т.е. искомое частное решение
.
Общее решение исходного неоднородного
уравнения имеет вид:
.
Пример
17.9. Решить уравнение
.
Найдем общее
решение однородного дифференциального
уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет два различных действительных
корня
и
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения имеет вид
.
Найдем частное
решение неоднородного дифференциального
уравнения. В данном примере
;
поскольку это значение совпадает с
одним из двух различных корней
характеристического уравнения, то
.
Частное решение следует искать в виде
.
Найдем значение
коэффициента
.
Дифференцируя частное решение, получаем
,
.
Подставляем
и
в исходное уравнение, получаем равенство
,
или
.
Приравниваем коэффициенты при множителе
,
получаем
,
т.е. искомое частное решение
.
Общее решение исходного неоднородного
уравнения имеет вид:
.
Пример
17.10. Решить уравнение
.
Найдем общее
решение однородного дифференциального
уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет два одинаковых действительных
корня
(т.е. значение
является корнем кратности 2). Следовательно,
общее решение данного уравнения имеет
вид
.
Найдем частное
решение неоднородного дифференциального
уравнения. В данном примере
;
поскольку это значение совпадает с
двумя одинаковыми корнями характеристического
уравнения, то
.
Частное решение следует искать в виде
.
Найдем значение
коэффициента
.
Дифференцируя частное решение, получаем
,
.
Подставляем
и
в исходное уравнение, получаем равенство
,
или
.
Приравниваем коэффициенты при множителе
,
получаем
,
т.е. искомое частное решение
.
Общее решение исходного неоднородного
уравнения имеет вид:
.
-
Правая часть неоднородного уравнения имеет вид
,
где
,
,
,
–
некоторые действительные числа.
В этом случае частное решение уравнения (17.1) следует искать в виде
|
|
(17.10) |
,
где показатель
степени
равен кратности значения
как корня характеристического
уравнения (17.4). Коэффициенты
и
находят методом неопределенных
коэффициентов.
Пример
17.11. Решить уравнение
.
Найдем общее
решение однородного дифференциального
уравнения
.
Характеристическое уравнение
имеет два комплексных корня
и
.
Следовательно, общее решение данного
уравнения имеет вид
.
Найдем частное
решение неоднородного дифференциального
уравнения. В данном примере
,
;
поскольку значение
не является корнем характеристического
уравнения, то
.
Частное решение следует искать в виде
.
Найдем значения
коэффициентов
и
.
Дифференцируя частное решение, получаем
,
.
Подставляем
и
в исходное уравнение, после преобразований
получаем равенство
,
Приравниваем
коэффициенты при
и
в левой и правой частях равенства и
получаем систему уравнений для определения
и
:
Решая эту систему,
находим, что
,
т.е. искомое частное решение имеет вид
.
Общее решение исходного неоднородного уравнения имеет вид:
.
Замечание. Если правая часть неоднородного уравнения является суммой нескольких функций, т.е.
,
то частное решение неоднородного уравнения равно сумме соответствующих частных решений
.