Глава 16. Дифференциальные уравнения I порядка

16.1. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка можно разрешить относительно производной, представив в виде

.

Общее решение такого уравнения содержит одну произвольную постоянную .

Если переменные и рассматривать как декартовы прямоугольные координаты точки на плоскости , то решение является семейством интегральных кривых (рис. 16.1).

Согласно геометрическому смыслу производной в точке, –угловой коэффициент касательной к графику решения в этой точке, т.е. дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Рис. 16.1

Возможность выделить из общего решения частное дает начальное условие: при , , т.е. из всех интегральных кривых мы выбираем ту, которая проходит через точку с координатами .

16.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

(16.1)

называется уравнением с разделенными переменными.

Чтобы найти решение этого уравнения, интегрируем обе его части

.

Пример 16.1. Решить уравнение .

Интегрируя обе части этого уравнения

,

получаем

,

или семейство окружностей с центром в начале координат

.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяю-щимися переменными, если оно имеет вид

.

(16.2)

Разделив обе части этого уравнения на :

,

,

получаем уравнение с разделенными переменными.

.

Замечание. Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение .

Пример 16.2. Решить уравнение .

Разделяя переменные

,

и интегрируя обе части уравнения

,

получим

,

откуда .

Пример 16.3. Решить задачу Коши , .

Разделяя переменные

и интегрируя обе части уравнения

,

получим

,

откуда

.

Используя начальное условие , находим . Окончательно будем иметь , или

.

16.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Любое однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть приведено к следующему виду

.

(16.3)

После подстановки или , получаем

.

Тогда уравнение (16.3) преобразуется к виду уравнения с разделяющимися переменными:

.

Решая его

,

или

,

получаем

.

Пример 16.4. Решить уравнение .

Произведем подстановку , откуда

.

Уравнение примет вид

,

или

.

Интегрируя обе части уравнения

,

получим

.

После преобразования получим , или

.

16.4. Линейные уравнения первого порядка Уравнение вида

,

(16.4)

где и – непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Это уравнение линейно относительно неизвестной функции и ее производной.

Если , то уравнение называется линейным однородным. В таком уравнении переменные легко разделяются

,

,

.

После интегрирования получим

,

,

.

откуда

или

.

(16.5)

Пример 16. 5. Решить уравнение .

Согласно (16.5)

.

Для интегрирования неоднородного линейного уравнения может быть применен метод Бернулли, согласно которому решение уравнения ищется в виде произведения двух функций от х:

.

(16.6)

Здесь считается неизвестной, а выбирается произвольно.

Согласно (16.6),

.

Уравнение (16.4) имеет вид

,

или

.

(16.7)

Используя произвольность функции v, полагаем выражение в скобках равным нулю

,

откуда после цепочки выкладок

,

,

и, положив , получим

.

Подставив найденное значение v в (16.7), приходим к уравнению

,

или , откуда находим .

Окончательно получаем

.

Пример 16.6. Найти решение задачи Коши ,.

Используя подстановку (16.6), получим

.

Полагаем

,

откуда

.

Интегрируя, находим , или .

Уравнение для нахождения u имеет вид:

, или .

Поэтому , следовательно, .

Общее решение имеет вид:

,

откуда, используя начальное условие, определяем .

В результате получим

.

Еще одним методом решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка является метод вариации произвольных постоянных Лагранжа.

За основу берем общее решение однородного уравнения (16.5), но полагаем не постоянной величиной, а неизвестной функцией . Тогда решение принимает вид

.

(16.8)

Для определения функции подставляем решение (16.8) в исходное дифференциальное уравнение.

Пример 16.7. Решить уравнение .

Согласно (16.5), решение однородного уравнения имеет вид:

.

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

,

которое подставляем в исходное уравнение:

,

откуда получаем

, или .

После цепочки выкладок

,

,

находим :

, где

Окончательно получаем

.