3. Интегрирование по частям

Пусть и – две непрерывно дифференцируемые функции. Найдем дифференциал от их произведения

откуда

.

Интегрируя последнее соотношение, получим

или

.

(12.6)

Это формула интегрирования по частям. Она применяется к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух множителей – “u” и “dv” (первый из которых надо продифференцировать, а второй проинтегрировать).

Применение метода интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части (12.6) окажется более прос­тым для вычисления, чем исходный интеграл, или подобен ему.

Если под знаком интеграла стоит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на многочлен, то за функцию “u” принимают не многочлен.

Если под знаком интеграла стоит произведение показательной или тригонометрической функции на многочлен, то за функцию “u” принимают многочлен.

Пример 12.15. Найдем интеграл . Введем обозначения , . Тогда , и

.

Пример 12.16. Найдем интеграл . Обозначим . Тогда , и

.

Пример 12.17. Найдем интеграл . Обозначим . Тогда , и

.

Пример 12.18. Найдем интеграл . Здесь , . Тогда , и

.

12.5. Интегрирование рациональных дробей

В п. 7.2. отмечалось, что многочленом степени n называется выражение вида , где – действительные числа, n называется степенью многочлена. Например, 3 – многочлен нулевой степени (, – многочлен первой степени, – многочлен третьей степени и т.д. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, , – рациональные дроби.

Рассмотрим, как интегрируются рациональные дроби. Прежде всего, отметим, что достаточно рассмотреть только правильные дроби, т.е. такие, у которых степень числителя меньше степени знаменателя. Если дробь неправильная, делим числитель дроби на знаменатель “столбиком” и выделяем целую часть. В результате неправильная дробь будет представлена в виде суммы целой части – многочлена, и остатка от деления – правильной рациональной дроби.

Пример 12.19. .

Таким образом, интеграл от исходной дроби сводится к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби. Правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

Простейшими дробями , , и V типов называются правильные рациональные дроби вида:

. ;

. , ;

. , ;

IV. , , .

Рассмотрим интегралы от простейших дробей. Для первых двух типов имеем

. ;

. .

Эти формулы легко получить, сделав замену переменной . Для того, чтобы найти интеграл от простейшей дроби типа, выделим в числителе дроби производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде

.

Тогда .

В первом интеграле числитель является производной знаменателя, поэтому

, т.к. для любого значения . Для вычисления второго интеграла выделяем в знаменателе полный квадрат

.

Делаем замену переменной , получаем , где . Отсюда следует

.

Окончательно получаем

.

Пример 12.20. Вычислим интеграл . Производная знаменателя , выделяя в знаменателе полный квадрат, получаем . Следовательно,

Рассмотрим теперь, как интегрируются простейшие дроби IV типа. Для того, чтобы найти , где , выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и разобьем интеграл на сумму двух интегралов (как в предыдущем случае):

Первый интеграл в правой части равенства находится с помощью подстановки , а во втором в знаменателе выделяют полный квадрат и берут его по частям, сделав линейную замену .

Для разложения правильной рациональной дроби на простейшие необходимо:

1) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители

,

где и трехчлен не имеет действительных корней;

2) представить дробь в виде суммы простейших дробей

;

3) вычислить неопределенные коэффициенты , , …,, …, , , , , …, , , …, для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной x произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Пример 12.21.

Вычислим интеграл . Дробь является неправильной, поэтому сначала выделяем из нее целую часть

.

Затем раскладываем знаменатель правильной дроби на множители

. Так как каждый из множителей , , входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей типа

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю

.

Приравниваем числители, сгруппировав члены с одинаковыми степенями

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем систему уравнений

решив которую, найдем , , . Таким образом, разложение дроби на простейшие имеет вид

.

Неизвестные , , в разложении можно было определить другим способом. Приравняв числители, можно придать переменной столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае, три частных значения.

Особенно удобно придавать значения, являющиеся действительными корнями знаменателя. В нашем примере действительными корнями знаменателя являются числа 0, 2 и -3. Подставляем эти значения в обе части равенства

.

При получаем , откуда следует ; при получим , откуда находим ; при имеем , откуда получаем .

Таким образом,

.

Пример 12.22. Вычислим интеграл .

Под знаком интеграла находится правильная рациональная дробь. Множителю соответствует сумма трех простейших дробей , а множителю простейшая дробь .

Следовательно, , откуда получаем .

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и -3. Полагая , получим , т.е. . При получаем , т.е. .

Сравним теперь коэффициенты при одинаковых степенях .

В левой части равенства нет члена с , т.е. коэффициент при равен 0. , следовательно, . Для определения приравняем коэффициенты при . Получаем , откуда находим .

Следовательно, , и

.

Пример 12.23. Вычислим интеграл .

Подынтегральная рациональная дробь является правильной. Знаменатель содержит квадратичный множитель. Следовательно, разложение рациональной дроби на простейшие будет иметь вид

.

Приводим выражение к общему знаменателю, приравниваем числители

Действительным корнем знаменателя является число -2. При получаем , откуда находим . Сравнивая коэффициенты при и получаем , откуда ; , откуда . Следовательно,

.

Таким образом,

.