Глава 11. Дифференциал функции
11.1. Понятие дифференциала функции
Рассмотрим функцию
имеющую производную
в данной точке
.
Согласно (9.4) приращение функции
в точке
можно представить в виде
,
где
стремится к нулю при
,
стремящемся к нулю.
Приращение функции
состоит из двух частей:
и
.
Главная часть приращения функции – это
первое слагаемое
.
Вторая часть при
представляет собой произведение двух
бесконечно малых величин, следовательно,
мало влияет на величину приращения
функции
.
Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.
Дифференциал
функции обозначается
:
|
|
(11.1) |
Рассмотрим функцию
и найдем
.
Производная
,
поэтому
.
С другой стороны, из равенства
следует равенство
,
следовательно,
,
или
|
|
(11.2) |
,
т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Формулу для дифференциала функции (11.1) на этом основании можно записать в виде
|
|
(11.3) |
.
Пример
11.1. Дифференциал функции
равен
Пример
11.2. Дифференциал функции
равен
.
Свойства дифференциала:
1)
,
где
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
11.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Приращение функции
,
откуда следует
.
Из изложенного выше следует, что
приращение функции
в точке
можно представить в виде
.
Поскольку величина
мала по сравнению с приращением аргумента
,
справедлива следующая приближенная
формула:
|
|
(11.4) |
.Поэтому
при достаточно малых
получаем формулу приближенного
вычисления значения функции при помощи
дифференциала:
.
(11.5)
Пример
11.3. Вычислить приближенно
.
Необходимо вычислить
значение функции
в точке
.
Используем формулу (11.5). В качестве
возьмем число, наиболее близкое к 16,64,
но такое, чтобы был известен
,
при этом
должно быть
достаточно малым. Очевидно, следует
взять
,
.
Находим
.
Вычислим дифференциал функции . Используя
формулу
,
и
получаем
.
Подставляя
,
получаем
.
В соответствии с (11.5)
.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти дифференциал функции
11.4.
.
11.5.
.
11.6.
.
11.7.
.
11.8.
.
11.9.
.
11.10.
.
Используя понятие дифференциала, вычислить
11.11.
.
11.12.
.
11.13.
.
11.14.
.
11.15.
.
11.16.
.
11.17.
.
11.18.
.
11.19.
.
О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М
Глава 11
11.4.
.
11.5.
.
11.6.
.
11.7.
.
11.8.
.
11.9.
.
11.10.
.
11.11. 2,02. 11.12. 3,03. 11.13. 2,8. 11.14.
1,1. 11.15. 0,531. 11.16. 0,811. 11.17. 7,76.
11.18. 1,9938. 11.19. 0,4849.