- •Раздел 5 основы дифференциального исчисления
- •Глава 9. Производная функции
- •9.1. Определение производной.
- •9.2. Связь между непрерывностью и существованием производной
- •9.3. Таблица производных
- •9.4. Правила вычисления производной
- •9.5. Производные высших порядков
- •Глава 9
- •Глава 10. Приложения производной
- •10.1. Свойства дифференцируемых функций
- •10.2. Правило Лопиталя
- •10.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •10.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •10.5. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •10.6. Асимптоты графика функции
- •10.7. Общая схема исследования функций и построение их графиков
- •Глава 10
- •Глава 11. Дифференциал функции
- •11.1. Понятие дифференциала функции
- •11.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Глава 11
9.5. Производные высших порядков
Пусть дана функция , имеющая производную . Эта производная представляет собой также функцию от х.
Производная от первой производной называется второй производной от данной функции и обозначается символом :
. |
(9.10) |
Пример 9.9. Пусть . Тогда . Найдем вторую производную .
Производная от второй производной называется третьей производной от данной функции и обозначается .
Производной n-го порядка от функции называется первая производная от производной -го порядка от данной функции и обозначается символом .
Пример 9.10. Дана функция . Найти выражение для производной n-го порядка. Последовательно вычисляя производные, получим
, , ,…, .
УПРАЖНЕНИЯ
9.11. Вычислением найти производные функций:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .
Пользуясь таблицей производных, найти производные функций:
9.12. . 9.13. ; вычислить ; ; . 9.14. ; вычислить ; . 9.15. . 9.16. . 9.17. . 9.18. . 9.19. . 9.20. ; вычислить ; . 9.21. . 9.22. . 9.23. ; вычислить . 9.24. . 9.25. . 9.26. . 9.27. . 9.28. ; вычислить . 9.29. ; вычислить . 9.30. . 9.31. . 9.32. . 9.32. . 9.33. . 9.34. . 9.35. . 9.36. . 9.37. . 9.38. . 9.39. ; вычислить . 9.40. . 9.41. . 9.42. ; вычислить . 9.43. . 9.44. . 9.45. . 9.46. . 9.47. . 9.48. . 9.49. . 9.50. . 9.51. . 9.52. . 9.53. . 9.54. . 9.55. . 9.56. . 9.57. . 9.58. . 9.59. . 9.60. . 9.61. . 9.62. ; вычислить . 9.63. ; вычислить . 9.64. ; вычислить . 9.65. ; вычислить . 9.66. ; вычислить .
Найти производную второго порядка
9.67. . 9.68. . 9.69. . 9.70. . 9.71. . 9.72. . 9.73. . 9.74. . 9.75. .
Найти производную третьего порядка
9.76. . 9.77. . 9.78. . 9.79. . 9.80. . 9.81. . 9.82. . 9.83. . 9.84. .
Найти производную n-го порядка
9.85. . 9.86. . 9.87. . 9.88. . 9.89. . 9.90. . 9.91. . 9.92. . 9.93. . 9.94. . 9.95. .
Решить задачи
9.96. Тело движется прямолинейно по закону (t – в секундах, s – в метрах). Определить скорость движения в конце пятой секунды.
9.97. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением (t – в секундах, s – в метрах). Определить ускорение движения в конце второй секунды.
9.98. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону (t – в секундах, s – в метрах). Найти:
а) скорость тела в начальный момент времени;
б) скорость тела в момент соприкосновения с землей;
в) наибольшую высоту подъема тела.
9.99. Тело движется прямолинейно по закону (t – в секундах, s – в метрах). Определить скорость и ускорение тела в конце шестой секунды.
9.100. Объем продукции, произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением , , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.
9.101. Объем продукции, произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением , , где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость ее изменения через два часа после начала работы.
9.102. Функция (t – в секундах, m – в граммах) описывает количество вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Найти скорость химической реакции в конце четвертой секунды.
9.103. Функция (t – в днях, g – количество человек) описывает процесс распространения инфекционного заболевания. Сколько человек заболеет на третий день?
9.104. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
9.105. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
9.106. Написать уравнение касательной и нормали к синусоиде в точке .
9.107. Написать уравнения касательных и нормалей к гиперболе в точках и .
9.108. Написать уравнения касательных и нормалей к параболе в точках пересечения с осью Ox.
О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М