![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 5 основы дифференциального исчисления
- •Глава 9. Производная функции
- •9.1. Определение производной.
- •9.2. Связь между непрерывностью и существованием производной
- •9.3. Таблица производных
- •9.4. Правила вычисления производной
- •9.5. Производные высших порядков
- •Глава 9
- •Глава 10. Приложения производной
- •10.1. Свойства дифференцируемых функций
- •10.2. Правило Лопиталя
- •10.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •10.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •10.5. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •10.6. Асимптоты графика функции
- •10.7. Общая схема исследования функций и построение их графиков
- •Глава 10
- •Глава 11. Дифференциал функции
- •11.1. Понятие дифференциала функции
- •11.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Глава 11
Глава 9
9.11.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
9.12..
9.13.
;
4; 1; 9. 9.14.
;
8;16. 9.15.
. 9.16.
.
9.17.
.
9.18.
.
9.19.
.
9.20.
;
0;
.
9.21.
.
9.22.
.
9.21.
;
3. 9.23.
.
9.24.
.
9.25.
;
9.26.
.
9.27.
;
-7. 9.28.
;
.
9.29.
.
9.30.
.
9.31.
.
9.32.
.
9.33.
.
9.34.
.
9.35.
.
9.36.
.
9.37.
.
9.38.
.
9.39.
;
.
9.40.
. 9.41.
. 9.42.
;
0. 9.43.
.
9.44.
. 9.45.
. 9.46.
.
9.47.
.
9.48.
.
9.49.
. 9.50.
. 9.51.
.
9.52.
.
9.53.
.
9.54.
.
9.55.
.
9.56.
.
9.57.
.
9.58.
.
9.59.
.
9.60.
.
9.61.
.
9.62.
;
-1. 9.63.
;
0. 9.64.
;
0,25. 9.65.
;
-1. 9.66.
;
0,5. 9.67.
.
9.68.
.
9.69.
.
9.70.
.
9.71.
.
9.72.
.
9.73.
.
9.74.
.
9.75.
.
9.76.
.
9.77.
.
9.78.
.
9.79.
.
9.80.
.
9.81.
.
9.82.
.
9.83.
.
9.84.
.
9.85. 0. 9.86.
.
9.87.
.
9.88.
.
9.89.
.
9.90.
.
9.91.
.
9.92.
.
9.93.
.
9.94.
.
9.95.
.
9.96.
17 м/c. 9.97.
м/с. 9.98. 8 м/c; -12 м/c
(минус указывает на то, что направление
скорости тела в момент t
= 2 противоположно направлению начальной
скорости); 8,2 м. 9.99. -0,03 м/c;
0,006 м/c2. 9.100. 112,5
ед./ч; 82,5 ед./ч. 9.101. 43 ед./ч; -22 ед./ч2.
9.102. 25 г/с. 9.103. 11 человек.
9.104.
касательная
,
нормаль
.
9.105.
касательная
,
нормаль
.
9.106.
касательная
,
нормаль
.
9.107.
касательные
и
;
нормали
и
.
9.108.
касательные
и
;
нормали
и
.
Глава 10. Приложения производной
10.1. Свойства дифференцируемых функций
Теорема
Ферма. Если функция
,
определенная в интервале
,
достигает в некоторой точке с этого
интервала наибольшего или наименьшего
значения, и существует конечная
производная
,
то
.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что касательная к графику функции в точке с параллельна оси абсцисс (рис. 10.1).
Теорема
Ролля. Если функция
,
непрерывная на отрезке
и дифференцируемая в интервале
,
принимает на концах этого отрезка равные
значения
,
то в интервале
,
существует точка с, такая, что
.
Геометрический
смысл теоремы состоит в том, что если
ординаты кривой
на концах отрезка равны, то на кривой
найдется точка, в которой касательная
параллельна оси абсцисс (рис.
10.2).
Теорема
Лагранжа.
Если функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема в интервале
,
то внутри интервала
найдется такая точка с, что
.
Геометрический
смысл теоремы состоит в том, что на
графике функции
,
где
,
существует такая точка с, что
касательная к графику в этой точке
параллельна хорде AB
(рис. 10.3).
Следствие
1. Если функция
имеет равную нулю производную на
некотором интервале
,
то функция является постоянной на
этом интервале.
Следствие
2. Если две функции
и
имеют равные производные во всех точках
интервала
,
то они отличаются на одну и ту же
постоянную величину для всех х из
этого интервала.
10.2. Правило Лопиталя
Теорема.
Пусть в некоторой окрестности точки
(кроме,
быть может, самой точки
)
функции
и
дифференцируемы
и
.
Если
или
,
т.е. частное
в точке
представляет собой неопределенность
вида
или
,
то
|
(10.1) |
если предел в правой части равенства существует.
Замечание
1: Правилом Лопиталя раскрытия
неопределенностей можно пользоваться
и при
.
Замечание
2: Если частное
в точке
также представляет собой неопределенность
вида
или
,
то правило следует применить второй
раз (т.е. перейти к отношению вторых
производных и т.д.).
Замечание
3: В случае неопределенности вида
или
следует алгебраически преобразовать
данную функцию так, чтобы привести ее
к неопределенности вида
или
и затем воспользоваться правилом
Лопиталя.
Пример
10.1. Найти предел
.
Числитель
и знаменатель стремятся к нулю при
,
поэтому имеем неопределенность вида
.
Воспользуемся правилом Лопиталя, т.е.
рассмотрим предел отношения производных
заданных функций:
Пример
10.2. Найти предел
.
Это
также неопределенность вида
.
Воспользуемся правилом Лопиталя:
Здесь правило
Лопиталя применено дважды.
Пример
10.3. Найти предел
.
Это
– неопределенность вида
.
Применим правило Лопиталя:
Пример
10.4. Найти предел
.
Здесь
мы имеем неопределенность вида
.
Представим произведение функций в виде
частного, а затем, получив неопределенность
вида
,
применим правило Лопиталя:
Пример
10.5. Найти предел
.
Это
– неопределенность вида
.
Для того, чтобы найти предел функции,
приведем дроби к общему знаменателю, а
затем, получив неопределенность вида
,
применим правило Лопиталя: