10.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

При решении прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений ( глобального максимума и глобального минимума) функции на каком-либо промежутке.

Согласно теореме Вейерштрасса (§ 8.4), если функция непрерывна на отрезке , то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Например, на рис. 10.9 ВСТАВИТЬ наибольшее значение функция имеет на конце отрезка, в точке , а наименьшее – в точке минимума .

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке следует выполнить следующие действия:

1) найти производную ;

2) найти критические точки функции, в которых или не существует;

3) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример 10.11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Вычисляем производную . Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет. Находим точки, в которых производная равна нулю, получаем . Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка: ; ; . Следовательно, , .

Замечание: На интервале функция достигает наибольшего или наименьшего значения только в точках локальных экстремумов.

10.5. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Рассмотрим дифференцируемую функцию .Функция называется выпуклой на интервале , если все точки графика расположены ниже любой касательной, проведенной к графику функции, и вогнутой, если точки графика расположены выше касательной.

Обратимся к рис. 10.10. На интервале функция выпуклая, на интервале – вогнутая.

Точка, в которой меняется направление выпуклости функции, называется точкой перегиба. На рис. 10.10 точкой перегиба является точка .

Для дважды дифференцируемых функций выполняются следующие теоремы.

Теорема 1. Если вторая производная функции положительна (отрицательна) на интервале , то функция является вогнутой (выпуклой) на этом интервале.

Теорема 2 (необходимое условие перегиба). Если точка является точкой перегиба данной функции, то вторая производная обращается в точке в нуль или не существует.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точ­ку меняет свой знак, то точка явля­ется точкой перегиба данной функции.

Из этих теорем вытекает схема исследования на выпуклость и вогнутость дважды дифференцируемой функции :

1. находим вторую производную ;

2. находим точки, в которых или не существует;

3. найденные точки делят область определения второй производной на интервалы, в каждом из которых сохраняет свой знак. На интервалах, где , функция является выпуклой, на интервалах, где – вогнутой;

4. находим значения функции в точках перегиба.

Пример 10.12. Функция выпукла на интервале , вследствие того, что , и вогнута на интервале , т.к. ; следовательно, точка является точкой перегиба.