![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 5 основы дифференциального исчисления
- •Глава 9. Производная функции
- •9.1. Определение производной.
- •9.2. Связь между непрерывностью и существованием производной
- •9.3. Таблица производных
- •9.4. Правила вычисления производной
- •9.5. Производные высших порядков
- •Глава 9
- •Глава 10. Приложения производной
- •10.1. Свойства дифференцируемых функций
- •10.2. Правило Лопиталя
- •10.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •10.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •10.5. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •10.6. Асимптоты графика функции
- •10.7. Общая схема исследования функций и построение их графиков
- •Глава 10
- •Глава 11. Дифференциал функции
- •11.1. Понятие дифференциала функции
- •11.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Глава 11
9.2. Связь между непрерывностью и существованием производной
Пусть
функция
имеет производную в данной точке х,
т. е. существует предел
.
Переменная
величина
равна сумме своего предела
и бесконечно малой при
величины
.
Поэтому справедливо равенство
.
Умножая обе части равенства на ∆x, получаем
|
(9.4) |
Теорема. Если функция имеет производную в данной точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Согласно (9.4)
Найдем
Так
как при
,
то по второму определению непрерывности
функция непрерывна в точке х.
Обратное утверждение может не выполняться.
Пример 9.3. Рассмотрим функцию (рис. 9.4.)
Значение
.
При переходе от точки
к точке
функция
получает приращение
.
Если
,
то
,
следовательно, функция
непрерывна в точке
.
Рассмотрим отношение
:
если
,
то
,
и
;
если
,
то
и
.
Левый и правый
пределы функции не равны между собой,
следовательно, в точке
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента не существует,
следовательно функция не имеет производной
в этой точке.
9.3. Таблица производных
|
|
9.4. Правила вычисления производной
Рассмотрим функции
и
,
имеющие производные
и
.
Теорема 1. Производная от постоянной величины равна нулю.
Доказательство.
Пусть
,
где
.
Тогда
,
,
т.е.
и
.
Теорема 2. Производная алгебраической суммы двух функций равна сумме производных слагаемых.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда
,
откуда
.
Находим
,
следовательно,
,
т. е.
,
или
-
.
(9.5)
Пример
9.4.
.
Замечание. Правило дифференцирования суммы двух слагаемых распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых.
Теорема 3. Производная произведения двух функций вычисляется по формуле
-
.
(9.6)
Доказательство.
Пусть
.
Тогда
,
откуда
,
и
.
Следовательно
.
Поскольку
функция
имеет производную, она непрерывна и
,
поэтому
,
что и требовалось доказать.
Пример
9.5. Вычислим производную функции
.
Согласно (9.6)
.
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
|
(9.7) |
Теорема 4. Производная частного двух функций вычисляется по формуле
|
(9.8) |
Доказательство.
Пусть
,
где
.
Тогда
,
откуда
.
Следовательно,
,
и
,
т.е.
, или
.
Пример 9.6.
Теорема 5. Производная сложной функции вычисляется по формуле
|
(9.9) |
Доказательство.
Пусть
,
где
,
т.е. y – сложная
функция от x, причем
имеет производную по u,
а
–
по х. Требуется найти производную
y по х. Находим
,
откуда
,
или
.
Пример
9.7.
.
Пример
9.8.
.