9.5. Производные высших порядков
Пусть дана функция
,
имеющая производную
.
Эта производная представляет собой
также функцию от х.
Производная от
первой производной называется второй
производной от данной функции и
обозначается символом
:
|
|
(9.10) |
.
Пример
9.9. Пусть
.
Тогда
.
Найдем вторую производную
.
Производная от
второй производной называется третьей
производной от данной функции и
обозначается
.
Производной n-го
порядка от функции
называется первая производная от
производной
-го
порядка от данной функции и обозначается
символом
.
Пример
9.10. Дана функция
.
Найти выражение для производной n-го
порядка. Последовательно вычисляя
производные, получим
, 
, 
,…, 
.
УПРАЖНЕНИЯ
9.11. Вычислением
найти производные функций:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
Пользуясь таблицей производных, найти производные функций:
9.12.
.
9.13.
;
вычислить
;
;
.
9.14.
;
вычислить
;
.
9.15.
.
9.16.
.
9.17.
.
9.18.
.
9.19.
.
9.20.
;
вычислить
;
.
9.21.
.
9.22.
.
9.23.
;
вычислить
.
9.24.
.
9.25.
.
9.26.
.
9.27.
.
9.28.
;
вычислить
.
9.29.
;
вычислить
.
9.30.
.
9.31.
.
9.32.
.
9.32.
.
9.33.
.
9.34.
.
9.35.
.
9.36.
.
9.37.
.
9.38.
.
9.39.
;
вычислить
.
9.40.
.
9.41.
.
9.42.
;
вычислить
.
9.43.
.
9.44.
.
9.45.
.
9.46.
.
9.47.
.
9.48.
.
9.49.
.
9.50.
.
9.51.
.
9.52.
.
9.53.
.
9.54.
.
9.55.
.
9.56.
.
9.57.
.
9.58.
.
9.59.
.
9.60.
.
9.61.
.
9.62.
; вычислить
.
9.63.
;
вычислить
.
9.64.
;
вычислить
.
9.65.
;
вычислить
.
9.66.
;
вычислить
.
Найти производную второго порядка
9.67.
.
9.68.
.
9.69.
.
9.70.
.
9.71.
.
9.72.
.
9.73.
.
9.74.
.
9.75.
.
Найти производную третьего порядка
9.76.
.
9.77.
.
9.78.
.
9.79.
.
9.80.
.
9.81.
.
9.82.
.
9.83.
.
9.84.
.
Найти производную n-го порядка
9.85.
.
9.86.
.
9.87.
.
9.88.
.
9.89.
.
9.90.
.
9.91.
.
9.92.
.
9.93.
.
9.94.
.
9.95.
.
Решить задачи
9.96.
Тело движется прямолинейно по закону
(t – в секундах, s
– в метрах). Определить скорость
движения в конце пятой секунды.
9.97.
Зависимость пути от времени при
прямолинейном движении точки задана
уравнением
(t – в секундах, s
– в метрах). Определить ускорение
движения в конце второй секунды.
9.98.
Тело, брошенное вертикально вверх,
движется по закону
(t – в секундах, s
– в метрах). Найти:
а) скорость тела в начальный момент времени;
б) скорость тела в момент соприкосновения с землей;
в) наибольшую высоту подъема тела.
9.99.
Тело движется прямолинейно по закону
(t – в секундах, s
– в метрах). Определить скорость и
ускорение тела в конце шестой секунды.
9.100.
Объем продукции, произведенный бригадой
рабочих, может быть описан уравнением
,
,
где t – рабочее время
в часах. Вычислить производительность
труда через час после начала работы и
за час до ее окончания.
9.101.
Объем продукции, произведенный бригадой
рабочих, может быть описан уравнением
,
,
где t – рабочее время
в часах. Вычислить производительность
труда и скорость ее изменения через два
часа после начала работы.
9.102.
Функция
(t – в секундах, m
– в граммах) описывает количество
вещества, вступившего в химическую
реакцию к моменту времени t.
Найти скорость химической реакции в
конце четвертой секунды.
9.103.
Функция
(t – в днях, g
– количество человек) описывает
процесс распространения инфекционного
заболевания. Сколько человек заболеет
на третий день?
9.104.
Написать уравнение касательной и нормали
к кривой
в точке
.
9.105.
Написать уравнение касательной и нормали
к кривой
в точке
.
9.106.
Написать уравнение касательной и
нормали к синусоиде
в точке
.
9.107.
Написать уравнения касательных и
нормалей к гиперболе
в точках
и
.
9.108.
Написать уравнения касательных и
нормалей к параболе
в точках пересечения с осью Ox.
О Т В Е Т Ы К У П Р А Ж Н Е Н И Я М