1. Получение фазового портрета линейной системы в mathcad

MATHCAD позволяет получить фазовые портреты исследуемой системы либо путем непосредственного решения дифференциального уравнения (4), без предварительного преобразования к виду (7), либо путем решения дифференциального уравнения (7).

Программа получения фазовых траекторий системы 2-го порядка путем решения дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид.

Зададим значения коэффициентов

• 

Определим начальное значения для вектора y

14

Пусть система Рисунок 12 имеет нелинейность в виде петлевой гистерезисной релейной характеристики с зоной нечувствительности (Рисунок 11(в)). В этом случае, если

,

то

если , то

Приведем программу построения фазовых траекторий.

Зададим значения коэффициентов

Зададим начальное значения для вектора

Определим функцию D

19

Рисунок 16 – Фазовая траектория исследуемой нелинейной ститемы

В MATHCAD этот метод исследования нелинейных систем реализуется правильным заданием функции D. Программа расчетов совпадает с программой исследования системы на фазовой плоскости, только в этом случае необходимо выводить график зависимости y(t). Для рассматриваемой системы этот график имеет следующий вид.

Рисунок 17 – График переходного процесса Y(t)

18

Определим функцию D, задающую производную приведя дифференциальное уравнение 2-го порядка к системе 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка

Найдем матрицу решения

Построим траекторию на фазовой плоскости, предполагая что первый столбец матрицы решения содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения, второй- содержит значения найденного решения, то есть y(t) и, наконец, третий столбецсодержит первые производные этого решения, то есть dy(t)/dt.

Рисунок 15 – Фазовая траектория для комплексных корней с отрицательными вещественными осями

З

15

десь изображена фазовая траектория для комплексных корней с отрицательными вещественными частями. Задавая различные коэффициенты и начальные условия можно получить все возможные фазовые траектории исследуемой системы.

2. Получение фазового портрета нелинейной системы в mathcad

В MATHCAD программа получения фазовых траекторий на фазовой плоскости путем непосредственного решения уравнений (14) имеет следующий вид.

Зададим значения коэффициентов

Зададим начальное значения для вектора y

Определим функцию D по 3-м линейным участкам нелинейной статической характеристики, задающую производную, приведя дифференциальное уравнение 2-го порядка к системе 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка

Найдем матрицу решения

Построим траекторию на фазовой плоскости, предполагая что первый столбец матрицы решения

16

содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения, второй - содержит значения найденного решения, то есть y(t) и, наконец, третий столбецсодержит первые производные этого решения, то есть dy(t)/dt.

На графике линии переключения - штриховые линии. Задавая различные начальные условия можно получить все возможные фазовые траектории исследуемой нелинейной системы.

Рассмотренная нелинейная система была представлена как кусочно-линейная, так как для отдельных участков процесса система описывалась разными линейными дифференциальными уравнениями. Для исследования таких систем применяется метод припасовывания, который заключается в том, что линейные дифференциальные уравнения системы решаются отдельно для каждого участка, а затем правильно состыковываются. Правильная стыковка заключается в том, что конечные фазовые координаты предыдущего участка должны быть равны начальным условиям последующего. В этом случае в решении не будет разрыва.

17