2. Нелинейные сау

САУ называется нелинейной, если хотя бы одно звено системы описывается нелинейным уравнением (обладает нелинейной характеристикой). Если нелинейность играет в системе существенную роль, то она не подлежит линеаризации и для исследования САУ применяют теорию нелинейных систем.

В нелинейных САУ различают статические и динамические нелинейности. Статические нелинейности – это нелинейности статических характеристик.

Рассмотрим нелинейное звено

Рисунок 8 – Нелинейное звено

Его статические характеристики могут быть непрерывными, как, например, характеристики с насыщением

6

19	0	10
20	2	3
21	-2	3
22	4	3
23	-4	3
24	3	3

Задавая различные начальные условия для y(0) и z(0), получить фазовые портреты , соответствующие различным особым точкам.

2. В MATHCAD методом фазовых траекторий исследовать процесс регулирования температуры для системы, изображенной на рисунке 13, если нелинейный элемент представляет собой чувствительный элемент со статической характеристикой в виде петлевой гистерезисной релейной характеристики Рис.12 (б).

Исполнительное устройство имеет передаточную функцию вида .

Передаточная функция объекта регулирования равна

.

Причем .

Параметры САУ приведены в таблице 2.

27

Необходимо отметить, что применение MATHCAD дает возможность исследования нелинейных систем и более высокого порядка

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Для линейной САУ, описываемой уравнением (4), при исходных данных, определяемых таблицей 1

Таблица 1.

a\N	a1	a2
1	0	2
2	1	1
3	-1	1
4	2.5	1
5	-2.5	1
6	-2	-1
7	0	6
8	1	2
9	-1	2
10	3	1.5
11	-3	1.5
12	-1	-1
13	0	4
14	2	2
15	-2	2
16	4	1
17	-4	1
18	1	-5
a\N	a1	a2

26

а) реальная б) идеальная

Рисунок 9 – Непрерывные статические характеристики нелинейного звена

И релейными, то есть имеющим точки разрыва

а) идеальная релейная б) релейная с зоной

нечувствительности

Рисунок 10 – Релейные статические характеристики нелинейного звена

Э

7

то были примеры однозначных характеристик. Характеристики могут быть и неоднозначными, например, гистерезисными

а) с насыщением и гистерезисом б) релейная с гистерезисом

в) релейная с гистерезисом и

зоной нечувствительности

Рисунок 11 – Гистерезисные статические характеристики нелинейного звена

Динамические нелинейности – нелинейности дифференциального уравнения динамики звена. Так, если рассмотреть апериодическое звено

то постоянная времени является нелинейной функцией входного сигнала.

8

Необходимо отметить, что нелинейности в САУ могут быть естественно присущими реальной системе (трение, люфт, гистерезис, зона нечувствительности, насыщение) и часто вредными. Но могут быть и специально вводимые нелинейности для придания системе требуемых свойств. Так оптимизация

Переходный процесс для выходной координаты y(t)

Рисунок 23 – График переходного процесса при T=1, k=4, =0.7, b=2 и c=0.5

И, наконец, фазовая траектория в трехмерном фазовом пространстве с координатами иимеет вид

Рисунок 24 – Фазовая траектория в трехмерном пространстве

25

амплитуда автоколебаний равна , а частота.

MATHCAD 7 позволяет построить фазовые траектории в 3-х мерном фазовом пространстве. В качестве примера рассмотрим нелинейную систему Рисунок 12 с нелинейностью в виде реле с зоной нечувствительности, если объект имеет передаточную функцию

.

Приведем фазовую траекторию на фазовой плоскости при T=1, k=4, =0.7, b=2 и c=0.5

Р

24

исунок 22 – Фазовая траектория при T=1, k=4,=0.7, b=2 и c=0.5

САУ в большинстве случаев связана с введением специальных нелинейностей в контур управления.

Рассмотрим на конкретных примерах исследование переходных процессов на фазовой плоскости для нелинейной системы, схема которой изображена на Рисунке 12.

Рисунок 12 – Структурная схема нелинейной САУ

Нелинейный элемент представляет собой чувствительный элемент со статической характеристикой в виде релейной характеристики с зоной нечувствительности Рисунке 10 (б).

Исполнительное устройство имеет передаточную функцию вида

. (8)

Передаточная функция объекта регулирования равна

. (9)

Заметим, что .

Тогда линейная часть системы будет описываться уравнением

9

, (10)

Уравнение нелинейного элемента

, (11)

Запишем уравнение сравнивающего элемента

, (12)

Предположим, что задающее воздействие . Тогда уравнение нелинейной САУ будет иметь следующий вид

, (13)

Характеристика нелинейного элемента разбивается на три линейных участка и для каждого из них составляется линейное дифференциальное уравнение

 участок , если,

участокесли, (14)

участок , если.

Для фазовой плоскости введем обычные координаты и. Исключим в уравнениях (14) время

10

Расчеты показывают, что фазовые траектории образуют устойчивый предельный цикл, который соответствует устойчивым колебаниям. Переходные процессы в системе имеют следующий вид

Рисунок 21 – Графики переходных процессов при различных начальных условиях

Таким образом, установившимся состоянием исследуемой системы являются автоколебательный процесс.

Используя возможности MATHCAD по графику можно определить амплитуду и частоту автоколебаний. Для этого необходимо выделить график, а затем в меню X-Y График выбрать строку График. Внутри выделенного графика нажать кнопку “мыши”. В результате появится перекрестие, позволяющее считывать те, или иные координаты кривой. Так

23

Рисунок 19 – График переходного процесса

Для системы Рисунок 12 с нелинейностью типа реле с гистерезисом (Рисунок 11 (б)) и значениями коэффициентов T=10, k=3, b=2 и c=0,5 приведем фазовые траектории и переходные процессы y(t) при различных начальных условиях.

Р

22

исунок 20 – Фазовые траектории при различных начальных условиях

Разделяя переменные и интегрируя получим уравнения фазовых траекторий для участков 1-3 нелинейной характеристики.

 участок ,

Iучасток (15)

участок ,

- производные постоянного интегрирования, определяемые начальными условиями.

Сначала на фазовой плоскости наносят линии переключения, разделяющие плоскость на три области. Это линии перехода от одного участка нелинейной характеристики к другому.

Рисунок 13 – Линии переключения на фазовой плоскости

11

Затем по уравнениям (15) строят фазовые траектории. При этом должны учитываться общие правила построения фазовых траекторий.

1) На фазовой плоскости при z=0 скорость изменения равна нулю. Поэтому фазовые траектории пересекают ось y под прямым углом.

2) В верхней полуплоскости фазовая траектория движется слева направо, в нижней – справа налево.

3) Фазовые траектории не пересекаются между собой за исключением случаев пересечения в особых точках.

Фазовые траектории имеют асимптоты z=kc и z=kc к которым они стремятся при неограниченном увеличении y.

В целом фазовые траектории принимают спиралевидную форму, что соответствует затухающим колебательным процессам. Однако колебательный процесс затухает не до нуля, а до некоторого значения внутри интервала b, определяемого зоной нечувствительности. Таким образом вместо особой точки мы имеем особый отрезок равновесных состояний. Начальные условия определяют фазовую траекторию, по которой пойдет переходной процесс.

Существуют следующие особые линии для нелинейных систем.

12

Рисунок 18 - система с нелинейностью в виде петлевой гистерезисной релейной характеристики с зоной нечувствительности

В этом случае фазовые траектории также имеют спиралевидную форму, что соответствует затухающим колебательным процессам. Здесь также, как и в случае релейной характеристики с зоной нечувствительности фазовые траектории заканчиваются на особом отрезке, определяемым зоной нечувствительности. График переходного процесса y(t)

21

Найдем матрицу решения

Построим траекторию на фазовой плоскости

20

Рисунок 14 – Особые линии для нелинейных систем

13

На рисунках 14 (а) и (б) мы имеем особые замкнутые линии, называемые предельным циклом. На Рисунке14 (а)устойчивый предельный цикл, на Рисунке 14 (б) – неустойчивый. На Рисунке 14 (а) система неустойчива в

малом, и устойчива в большом. На Рисунке 14 (б) в малом система устойчива, но неустойчива в большом. Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям в системе.

На фазовой плоскости рисунке 14 (в) два предельных цикла: внешний – устойчивый, а внутренний – неустойчивый.

На рисунке 14 (г) при малых отклонениях имеют место предельные циклы. При больших отклонениях имеют место особые точки – седла и система становится неустойчивой. Особая линия проходящая через точки С₁ и С₂ – сепаратрисса.

На фазовой плоскости рисунке 14 (д) особые точки превратились в особый отрезок. Такой фазовый портрет соответствует системам с зоной нечувствительности.

РЕШЕНИЕ В MATHCAD